[논문 리뷰] Single-index copulae

Jean‐David Fermanian, Olivier Lopez|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 23.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원적 의존성 모델링을 줄이기 위해 복합도수 매개변수(또는 copula parameter)가 알려지지 않은 링크 함수를 통해 단변량 인덱스에 의존하는 반모수적 모델인 단일인덱스 copula를 제안한다. 저자들은 링크 함수와 유한차원 매개변수에 대한 추정기들을 제안하며, 정규 조건 하에서 그들의 점근적 정규성과 일致성을 확립함으로써 조건부 copula 모델링에서의 차원의 극복 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We introduce so-called "single-index copulae". They are semi-parametric conditional copulae whose parameter is an unknown "link" function of a univariate index only. We provide estimates of this link function and of the finite dimensional unknown parameter. The asymptotic properties of the latter estimates are stated. Thanks to some properties of conditional Kendall's tau, we illustrate our technical conditions with several usual copula families.

연구 동기 및 목표

• 고차원적 공변량이 존재할 때 조건부 copula 모델에서의 차원의 비극을 해결하기 위해.
• 복합도수 매개변수가 알려지지 않은 링크 함수를 통해 단일 인덱스에 의존하는 반모수적 모델을 제안하기 위해.
• 단일인덱스 구조 내에서 링크 함수와 유한차원 매개변수에 대한 추정기들을 개발하기 위해.
• 정규 조건 하에서 매개변수 추정기의 점근적 성질—일치성과 정규성—을 확립하기 위해.
• 일반적인 copula 가족을 활용하여 기술적 조건을 설명하고 조건부 켄달의 타우를 사용해 방법의 실현 가능성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 공변량의 선형 조합에 대한 함수로 조건부 copula 매개변수를 모델링한다. 즉, θ(z) = ψ(β₀′z)이며, 여기서 β₀는 유한차원 매개변수이고 ψ는 알려지지 않은 링크 함수이다.
• 편차와 분산을 균형 잡기 위해 밴드위드 h̃를 선택하여 인덱스 β′Z의 밀도와 조건부 기대값을 커널 스무딩으로 추정한다.
• 커널 가중치를 사용한 추정 함수의 경험적 형태를 활용하여 링크 함수 ψ를 국소 추정 방정식 방법으로 추정한다.
• 정규 조건 하에서 β₀ 추정기의 점근적 분포를 도출하며, 정규 분포로 수렴함을 보인다.
• empirical process 이론과 커널 밀도 추정을 활용하여 추정된 copula 및 그 도함수의 균일 수렴 속도를 확립한다.
• 기술적 조건을 점검하고 모델이 의존성 구조와 연결되도록 하기 위해 조건부 켄달의 타우를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합도수 매개변수에 대한 단일인덱스 가정이 조건부 copula 모델의 차원을 줄이되 유연성을 유지하는 데 효과적인가?
• RQ2 이 반모수적 프레임워크에서 링크 함수와 인덱스 매개변수 β₀의 추정기의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ3 비모수적 조건부 copula 추정에서의 차원의 비극 문제는 단일인덱스 구조를 통해 어떻게 완화될 수 있는가?
• RQ4 이 모델 하에서 추정된 copula 및 그 도함수의 균일 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ5 조건부 켄달의 타우는 기술적 조건을 점검하고 모델 가정을 검증하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 정규 조건 하에서 β₀의 추정기의 점근적 정규성은 수렴 속도 O_P(√n)를 갖는다.
• 추정된 copula 및 그 도함수의 균일 수렴 속도는 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n^{1/2} ˜h^{1/2})), 여기서 ˜h는 밴드위드이다.
• 추정된 copula의 첫 번째 도함수의 균일 수렴 속도는 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{3/2})).
• 추정된 copula의 두 번째 도함수의 균일 수렴 속도는 O_P(˜h^˜s + [log n]^{1/2} / (n ˜h^{5/2})).
• 이 방법은 전체 p차원 공변량 공간에 대한 의존성에 대한 의존도를 단일 인덱스로 줄임으로써 차원의 비극을 피한다.
• 조건부 켄달의 타우는 기술적 조건을 점검하고 모델이 기초 의존성 구조와 연결되도록 하는 데 사용된다.