[논문 리뷰] Single-Strip Triangulation of Manifolds with Arbitrary Topology

M. Gopi, David Eppstein|ArXiv.org|2004. 05. 10.

Computer Graphics and Visualization Techniques참고 문헌 18인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 임의의 위상 구조를 가진 삼각형 메쉬를 전략적으로 변형하여 인접한 삼각형을 변의 중점에서 분할함으로써 기하학적 정확성을 유지하면서도 모든 입력 삼각형을 커버하는 해밀턴 사이클을 보장하는 새로운 알고리즘을 제안한다. 이 방법은 삼각형 수의 최대 50% 증가를 보장하며, 실제 사례에서는 2% 미만으로 증가한다. 이는 복잡한 표면에서의 프로시저적 공간 메우는 곡선 구현에 기여한다.

ABSTRACT

Triangle strips have been widely used for efficient rendering. It is NP-complete to test whether a given triangulated model can be represented as a single triangle strip, so many heuristics have been proposed to partition models into few long strips. In this paper, we present a new algorithm for creating a single triangle loop or strip from a triangulated model. Our method applies a dual graph matching algorithm to partition the mesh into cycles, and then merges pairs of cycles by splitting adjacent triangles when necessary. New vertices are introduced at midpoints of edges and the new triangles thus formed are coplanar with their parent triangles, hence the visual fidelity of the geometry is not changed. We prove that the increase in the number of triangles due to this splitting is 50% in the worst case, however for all models we tested the increase was less than 2%. We also prove tight bounds on the number of triangles needed for a single-strip representation of a model with holes on its boundary. Our strips can be used not only for efficient rendering, but also for other applications including the generation of space filling curves on a manifold of any arbitrary topology.

연구 동기 및 목표

• 임의의 위상 복잡도를 가진 삼각형 메쉬에서 단일 삼각형 스트립을 생성할 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 새로운 정점은 항상 변의 중점에만 추가하고, 분할된 삼각형이 공면성을 유지하도록 하여 원본 모델의 시각적 정확성을 유지하는 것.
• 스트립화 과정에서 추가로 필요한 삼각형 수의 이론적 상한을 제공하는 것.
• 임의의 위상 구조를 가진 표면에서의 프로시저적 공간 메우는 곡선 생성과 같은 새로운 응용 분야를 가능하게 하는 것.
• 휴리스틱적 스트립화와 완전한 삼각형 메쉬 재구성 사이의 격차를 최소한의 입력 삼각형 수정을 통해 메우는 것.

제안 방법

• 이중 그래프 매칭 기반 접근 방식을 사용하여 메쉬를 사이클로 분할하며, 이중 그래프의 2-정규 부분그래프에서 시작한다.
• 인접한 삼각형을 공유하는 변의 중점에서 분할함으로써 사이클을 병합하며, 각 분할당 두 개의 새로운 공면 삼각형을 도입한다.
• 공유하는 변의 중점에 새로운 정점을 배치하여, 새로운 삼각형이 원래 삼각형과 공면성을 유지하도록 보장함으로써 기하학적 정확성을 유지한다.
• 해밀턴 사이클을 따라 일관된 방향과 정점 순서를 유지하여 공간 메우는 곡선 생성을 위한 재귀적 분할을 가능하게 한다.
• 모든 입력 정점은 그대로 유지되며, 단일 스트립을 얻기 위해 최소한의 새로운 삼각형만 추가된다.
• 해밀턴 사이클에서 유도된 삼각형의 총 선형 순서를 기반으로 하여 순차적 순회가 필요한 응용 분야를 지원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 삼각형 메쉬(모든 종수 또는 경계 구조를 가리킴)에 대해 단일 삼각형 스트립을 구성할 수 있는가?
• RQ2 입력 삼각형 메쉬에서 단일 스트립을 형성하기 위해 필요한 추가 삼각형 수의 이론적 상한은 얼마인가?
• RQ3 새로운 정점을 도입할 때 기하학적 정확성이 유지될 수 있는가?
• RQ4 최종적으로 생성된 단일 스트립을 사용하여 임의의 위상 구조를 가진 다면체에서 공간 메우는 곡선을 생성할 수 있는가?
• RQ5 실제 삼각형 수 증가율이 이론적 최악의 경우 상한과 비교하여 실사용에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 알고리즘은 최악의 경우 삼각형 수를 최대 50%까지 증가시키며, 실험 결과 모든 테스트 모델에서 2% 미만의 증가율을 보였다.
• 모든 새로 추가된 삼각형이 부모 삼각형과 공면성을 유지함을 보장하여 시각적 정확성이 유지된다.
• 모든 입력 삼각형을 정확히 한 번만 지나는 해밀턴 사이클을 생성하여 메쉬의 총 선형 순서를 보장한다.
• 결과로 생성된 단일 스트립은 임의의 위상 구조를 가진 다면체에서 프로시저적 공간 메우는 곡선 생성을 지원하며, 이는 새로운 기여이다.
• 입력 정점의 수정 없이 단일 스트립 표현을 달성하며, 오직 변의 중점에 새로운 정점만 추가한다.
• 복잡한 모델, 예를 들어 종수 2인 조각(50,780에서 51,780개의 삼각형)과 말 모델(96,966에서 98,552개의 삼각형)에 대해서도 효과적이다.