[논문 리뷰] SINGULAR BOTT-CHERN CLASSES AND THE ARITHMETIC GROTHENDIECK RIEMANN ROCH THEOREM FOR CLOSED IMMERSIONS

Burgos Gil|arXiv (Cornell University)|2009. 02. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 산술 K-이론에서의 특이 Bott-Chern 클래스에 대한 공리적 프레임워크를 제공하며, Bismut, Gillet, Soulé의 이론이 유일한 동차 이론임을 증명한다. 이는 닫힌 매장에 대한 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 수립하고, 두 가지 독립적인 결과를 도출한다: 고정된 파장 집합을 가진 미분형식에 대한 Poincaré 보조정리와 특정 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지의 닫힘 성질.

ABSTRACT

We study the singular Bott-Chern classes introduced by Bismut, Gillet and Soule. Singular Bott-Chern classes are the main ingredient to define direct images for closed immersions in arithmetic K-theory. In this paper we give an axiomatic definition of a theory of singular Bott-Chern classes, study their properties, and classify all possible theories of this kind. We identify the theory defined by Bismut, Gillet and Soule as the only one that satisfies the additional condition of being homogeneous. We include a proof of the arithmetic Grothendieck-Riemann-Roch theorem for closed immersions that gen- eralizes a result of Bismut, Gillet and Soule and was already proved by Zha. This result can be combined with the arithmetic Grothendieck- Riemann-Roch theorem for submersions to extend this theorem to ar- bitrary projective morphisms. As a byproduct of this study we obtain two results of independent interest. First, we prove a Poincare lemma for the complex of currents with fixed wave front set, and second we prove that certain direct images of Bott-Chern classes are closed.

연구 동기 및 목표

• 산술 K-이론에서 사용하기 위한 특이 Bott-Chern 클래스의 공리적 정의를 제공하기 위해.
• 모든 가능한 특이 Bott-Chern 클래스 이론을 분류하고 유일한 동차 이론을 식별하기 위해.
• 닫힌 매장에 대한 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 수립하여 이전 결과를 일반화하기 위해.
• 더 넓은 수학적 관심을 가진 두 가지 독립적 결과를 도출하기 위해: 고정된 파장 집합을 가진 미분형식에 대한 Poincaré 보조정리와 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지의 닫힘 성질.
• 자기사상의 부분사상과 닫힌 매장에 대한 결과를 조합하여 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 임의의 프로젝티브 사상으로 확장할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 함자성, 당김과의 가(commutativity) 및 분할 조건을 기반으로 한 특이 Bott-Chern 클래스에 대한 공리적 체계를 개발하기 위해.
• 미분형식 이론과 파장 집합 이론을 활용하여 특이 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지에서의 행동을 분석하기 위해.
• 고정된 파장 집합을 가진 미분형식에 대한 Poincaré 보조정리를 적용하여 클래스의 코homological 성질을 확립하기 위해.
• 이중성과 dbar 기법을 사용하여 닫힌 매장에 의한 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지가 닫힌 형식임을 증명하기 위해.
• 명시적 계산을 통한 캐런 특성과 토르드 클래스 보정을 통해 닫힌 매장에 대한 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 구성하기 위해.
• 닫힌 매장에 대한 결과를 자기사상의 경우에 알려진 정리와 조합하여 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 임의의 프로젝티브 사상으로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Bismut, Gillet, Soulé가 정의한 특이 Bott-Chern 클래스를 유일하게 특징짓는 공리적 성질은 무엇인가?
• RQ2 특이 Bott-Chern 클래스 이론의 동차성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 산술 K-이론에서 닫힌 매장에 대해 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 고정된 파장 집합을 가진 미분형식의 코homological 행동은 무엇이며, Bott-Chern 클래스와의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 언제 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지가 닫힌 형식이 되는가?

주요 결과

• Bismut, Gillet, Soulé가 정의한 특이 Bott-Chern 클래스 이론은 가능한 모든 이론들 중에서 유일한 동차 이론이다.
• 고정된 파장 집합을 가진 미분형식의 복합체에 대해 Poincaré 보조정리가 확립되어 국소적 해석 가능성 성질을 제공한다.
• 닫힌 매장에 의한 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지가 닫힌 형식임을 보였다. 이는 산술 Riemann-Roch 정리에 있어 핵심적인 기술적 결과이다.
• 닫힌 매장에 대해 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리가 증명되었으며, Bismut, Gillet, Soulé의 결과를 일반화하였다.
• 닫힌 매장에 대한 결과와 이미 알려진 자기사상에 대한 정리의 조합을 통해 산술 Grothendieck-Riemann-Roch 정리를 임의의 프로젝티브 사상으로 확장할 수 있었다.
• 이 연구는 독립적인 관심을 가진 두 가지 결과를 도출하였다: 미분형식에 대한 코homological Poincaré 보조정리와 Bott-Chern 클래스의 직접 이미지의 닫힘 성질.