[논문 리뷰] Singular control and optimal stopping of memory mean-field processes

Nacira Agram, Achref Bachouch외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기억성 평균장 확률미분방정식의 최적 단일 제어, 반사된 고급 평균장 후행 확률미분방정식, 최적 정지 문제 간의 연결을 수립한다. 반사된 AMBSDE의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 부분 정보 하에서 최적 단일 제어의 필요 및 충분 조건을 도출하고, 최적 제어 문제와 반사된 BSDE와 기억성 및 평균장 의존성을 포함하는 쌍대 표현을 통해 최적 정지 문제로의 동치성을 보여준다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the following topics and the relation between them: (i) Optimal singular control of mean-field stochastic differential equations with memory, (ii) reflected advanced mean-field backward stochastic differential equations, and (iii) optimal stopping of mean-field stochastic differential equations. More specifically, we do the following: - We prove the existence and uniqueness of the solutions of some reflected advanced memory backward stochastic differential equations (AMBSDEs), - we give sufficient and necessary conditions for an optimal singular control of a memory mean-field stochastic differential equation (MMSDE) with partial information, and - we deduce a relation between the optimal singular control of a MMSDE, and the optimal stopping of such processes.

연구 동기 및 목표

• 기억성 및 평균장 의존성을 갖는 반사된 고급 평균장 후행 확률미분방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하는 것.
• 부분 정보 하에서 기억성 평균장 SDE의 최적 단일 제어를 위한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 기억성 평균장 SDE의 맥락에서 최적 단일 제어와 최적 정지 문제 사이의 쌍대성을 보여주는 것.
• 첨도 과정과 기억 구조를 포함하는 공통 수학적 프레임워크를 통해 세 핵심 문제—단일 제어, 반사된 BSDE, 최적 정지—를 통합하는 것.

제안 방법

• 기억성 평균장 SDE와 반사된 고급 평균장 BSDE를 연결하는 전진-후행 시스템을 구성한다.
• 스토크라스틱 최대원리를 적용하여 부분 정보 하에서 최적 단일 제어의 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• 첨도 과정과 쌍대성을 이용해, 기억성 및 평균장 항을 포함하는 반사된 BSDE를 통해 단일 제어 문제를 최적 정지 문제로 연결한다.
• 최적 정지 문제의 가치 과정이 단일 제어 설정에서의 첨도 과정과 일치함을 증명한다.
• 최적 정지 시점이 제어 비용과 첨도 과정으로 정의된 경계에 도달하는 첫 번째 시간으로 표현됨을 유도한다.
• 예측 가능한 SDE, 평균장 기댓값, 경로에 의존하는 확률적 미적분학 등의 고급 도구를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기억성 및 평균장 의존성을 갖는 반사된 고급 평균장 후행 확률미분방정식이 언제 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 부분 정보 하에서 기억성 평균장 SDE의 최적 단일 제어에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 기억성 평균장 SDE의 맥락에서 최적 단일 제어 문제와 최적 정지 문제 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 최적 정지 문제의 가치 과정은 단일 제어 문제의 첨도 과정을 통해 표현될 수 있는가?
• RQ5 최적 정지 시점의 명시적 형태는 제어 과정과 첨도 과정에 대해 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 논문은 기억성 및 평균장 의존성을 갖는 반사된 고급 평균장 후행 확률미분방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명한다.
• 최적 단일 제어는 첨도 과정과 기억성 및 평균장 항을 포함하는 반사된 BSDE를 포함하는 전진-후행 SDE 시스템으로 특징지어짐을 규명한다.
• 최적 제어 문제는 가치 과정이 첨도 과정과 일치하고, 정지 시점이 제어 비용으로 정의된 경계에 도달하는 첫 번째 시간인 최적 정지 문제와 동치임을 보여준다.
• 최적 정지 시점은 누적 제어 과정이 임계값을 초과하는 첫 번째 시간으로 명시적으로 주어지며, 동치로 반사된 과정이 경계에 도달하는 첫 번째 시간으로도 표현된다.
• 단일 제어와 최적 정지 간의 쌍대성은 첨도 과정과 반사된 BSDE의 드라이버를 포함하는 쌍대 표현을 통해 체계화된다.
• 상수 제어 비용과 완전한 정보의 경우, 최적 정지 시점은 $ \hat{\tau}_0 = \inf\{s \in [0,T], Y(s) \leq S(s)\} \wedge T $ 로 주어지며, 여기서 $ S(s) = \frac{1}{\lambda_0} \hat{h}(s) $ 이다.