[논문 리뷰] Singular localization and intertwining functors for reductive Lie algebras in prime characteristic

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković외 1명|Scholarworks (University of Massachusetts Amherst)|2006. 02. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 소수 성질을 가진 재조화 리 대수에서의 특이 국소화를 확장하여, 고정된 특이 중심 문자를 가진 표현과 그에 대응하는 포화 파라보릭 스프링거 피어의 형식적 이웃에 대한 코herent sheaf 사이의 유도 동치를 구축한다. 상호 연결 함수를 통해 아핀 브레인 군 작용을 수립하고, 비틀린 D-모듈과 그로텐디크-세르 쌍대성을 이용하여 표준 쌍대성을 기술함으로써, 이전의 정규 중심 문자에 대한 결과를 특이 경우로 일반화한다.

ABSTRACT

In math.RT/0205144 we observed that, on the level of derived categories, representations of the Lie algebra of a semisimple algebraic group over a field of finite characteristic with a given (generalized) regular central character can be identified with coherent sheaves on the formal neighborhood of the corresponding (generalized) Springer fiber. In the present paper we treat singular central characters. The basic step is the Beilinson-Bernstein localization of modules with a fixed (generalized) central character as sheaves on the partial flag variety corresponding to the singularity of the character. These sheaves are modules over a sheaf of algebras which is a version of twisted crystalline differential operators, but is actually larger. We discuss translation functors and intertwining functors. The latter generate an action of the affine braid group on the derived category of modules with a regular (generalized) central character, which intertwines different localization functors. We also describe the standard duality on Lie algebra modules in terms of D-modules and coherent sheaves.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 표현 이론에서 정규 중심 문자에서 특이 중심 문자로의 특이 국소화 동치를 일반화하기 위해.
• 유도 범주에서 리 대수 모듈의 아핀 브레인 군 작용을 생성하는 상호 연결 함수를 구성하기 위해.
• 비틀린 D-모듈과 코herent sheaf를 이용하여 리 대수 모듈의 표준 쌍대성을 기술하기 위해.
• 부분 플라그 다양체와 아즈마야 대수를 통해 비엘리송-버너스타인 국소화 프레임워크를 특이 무한소 문자로 확장하기 위해.

제안 방법

• 부분 플라그 다양체 위에서 비엘리송-버너스타인 국소화를 활용하여 고정된 중심 문자를 가진 모듈을 비틀린 결정성 미분 연산자 위의 복소선형층으로 실현한다.
• 부분 플라그 다양체 $\cal P$ 위에 $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$ 라는 대수의 복소선형층을 구성하며, 이는 중심 다양체 위의 에탈 코팅 위에서 아즈마야 대수가 된다.
• 이동 함수와 상호 연결 함수를 적용하여 서로 다른 국소화 함수를 연결하고, 유도 범주 위에서 아핀 브레인 군 작용을 실현한다.
• 그로텐디크-세르 쌍대성과 캐논리컬 선다발의 자명성에 기반하여, $\widetilde{\cal D}$-모듈 위의 표준 쌍대성을 $\mathbb{D}_{\cal O}$ 와 $\sigma^*$-비틀림 쌍대성으로 기술한다.
• 등식 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F}) \mapsto \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ 를 이용하여 쌍대성과 아핀 브레인 군 작용을 연결한다.
• 유도 범주와 텐서곱에 대한 $\widetilde{\cal D}$-모듈의 호환성을 활용하여 동치와 수반 관계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수 성질에서 부분 플라그 다양체와 비틀린 D-모듈을 이용해 특이 중심 문자를 어떻게 국소화할 수 있는가?
• RQ2 아핀 브레인 군은 리 대수 표현에 대한 서로 다른 국소화 함수를 어떻게 연결하는가?
• RQ3 리 대수 모듈의 표준 쌍대성은 코herent sheaf와 $\widetilde{\cal D}$-모듈의 관점에서 어떻게 기술되는가?
• RQ4 특이 중심 문자를 가진 표현의 유도 범주는 파라보릭 스프링거 피어의 형식적 이웃을 통해 어떻게 묘사될 수 있는가?
• RQ5 그로텐디크-세르 쌍대성은 아핀 브레인 군 작용과 스프링거 피어 기하학과 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 고정된 특이 일반 중심 문자를 가진 $\mathfrak{g}$ 의 표현의 유도 범주는 해당 파라보릭 스프링거 피어의 형식적 이웃 위의 코herent sheaf 유도 범주와 동치이다.
• 상호 연결 함수는 정규 블록의 유도 범주 위에서 아핀 브레인 군의 잘 정의된 작용을 생성하며, 서로 다른 국소화 함수를 연결한다.
• 리 대수 모듈 위의 표준 쌍대성은 $\sigma^*$-비틀림, $\mathbb{D}_{\cal O}$, 그리고 브레인 군 원소 $\bf{w}_0$ 의 역원의 조합으로 표현되며, 정리 3.0.11에 기술되어 있다.
• $\widetilde{\cal D}_{\cal P}$ 는 유도적으로 애자메이이며, 중심 문자와 무게에 의해 결정되는 동치류를 정의한다.
• 등식 $\gamma_{\chi,\nu}(\mathcal{F})\check{\ }} \cong \mathbf{I}_{\widetilde{\mathbf{w}}_0}^{-1} \circ \gamma_{-\chi,\nu\check{}} \circ \mathbb{D}_{\cal O} \circ \sigma^*(\mathcal{F})$ 는 아핀 브레인 군을 통해 쌍대성을 근본적으로 기술한다.
• 이 구성은 프로베누스 전환과 $W$-작용과 호환되며, [BMR]의 결과를 정규 중심 문자에서 특이 중심 문자로 확장한다.