[논문 리뷰] Singular solutions in optimal control: second order conditions and a shooting algorithm

M. Soledad Aronna|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 28.

Optimization and Variational Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 혼합 애파인 및 비선형 제어를 포함하는 애파인 최적 제어 문제에서 약한 최적성에 대한 '간격 없음' 제2차 필요 및 충분 조건을 수립한다. 다중수렴성 유일성 가정 없이 비특이 제어를 다루는 수치적 방법을 확장하기 위해, 제2차 충분 조건에 의해 국소적 2차 수렴성이 보장되는 슈팅 알고리즘을 제안한다.

ABSTRACT

In this article we study optimal control problems for systems that are affine in one part of the control variable. Finitely many equality and inequality constraints on the initial and final values of the state are considered. We investigate singular optimal solutions for this class of problems. First, we obtain second order necessary and sufficient conditions for weak optimality. Afterwards, we propose a shooting algorithm and show that the sufficient condition above-mentioned is also sufficient for the local quadratic convergence of the algorithm.

연구 동기 및 목표

• 제어 변수의 일부에 대해 애파인인 최적 제어 문제에서 약한 최적성에 대한 제2차 필요 및 충분 조건을 유도하는 것.
• 기존의 슈팅 방법에서 비특이 제어에 대해 수렴 보장이 부족한 문제를 해결하기 위해 이론적 근거를 제공하는 것.
• 라그랑주 승수의 유일성 가정 없이도 비특이 최적 제어 문제를 다룰 수 있도록 수치 알고리즘을 확장하는 것.
• 제2차 충분 조건과 슈팅 방법의 국소 수렴 성질 사이의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 논문은 제2차 최적성 조건을 재구성하기 위해 Goh의 변환을 사용한다.
• 라그랑주 함수의 제2차 변동의 음이 아닌 성질을 분석하여 새로운 제2차 필요 조건을 도출한다.
• 1차 최적성 조건에서 유도된 두점 경계값 문제를 해결하는 슈팅 알고리즘을 제안한다.
• 제안된 제2차 충분 조건을 만족할 경우, 알고리즘이 국소적으로 2차 수렴함을 보여준다.
• 최적성 조건에서 유도된 비선형 방정식계를 해결하기 위해 가우스-뉴턴 프레임워크를 활용한다.
• Goh의 변환을 통한 원래 변수와 보조 변수 간의 변환은 더 다룰 만한 형태로 등가의 필요 및 충분 조건을 유도하는 데 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애파인 및 비선형 제어를 포함하는 최적 제어 문제에서 약한 최적성에 대한 제2차 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 비특이 제어 문제에 대해 국소적으로 수렴하는 슈팅 알고리즘을 어떻게 설계하고 증명할 수 있는가?
• RQ3 제2차 충분 조건이 슈팅 방법의 국소 2차 수렴성에 충분 조건으로 작용할 수 있는가?
• RQ4 Goh의 변환은 제2차 최적성 조건을 유도하고 검증하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 방법은 제어 변수에 경계 조건이 있는 제어 제약 문제가 있는 경우로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 '간격 없음' 조건인 필요 조건과 충분 조건의 쌍을 수립한다. 이는 충분 조건이 불등식을 더 강화함으로써 필요 조건를 강화함을 의미한다.
• 제2차 충분 조건는 제안된 슈팅 알고리즘의 국소 2차 수렴성을 보장하여 수치적 성능에 대한 이론적 근거를 제공한다.
• 라그랑주 승수의 유일성 가정 없이도 결과가 성립하므로, 승수의 비유일성 경우에도 적용 범위가 넓어진다.
• 제2차 충분 조건이 만족될 경우 슈팅 알고리즘이 국소적으로 수렴하며, 수렴 속도는 2차 비율에 의해 결정된다.
• 적절한 기하학적 가정 하에 제어 경계가 있는 문제로의 확장도 가능하며, 이는 확장 비고에서 언급되어 있다.
• 특수한 경우(예: m=0 또는 l=0)에서 유도된 조건가 기존 결과와 동치임을 통해 이론적 프레임워크의 타당성이 검증되었다.