[논문 리뷰] Singular Tur\'an numbers and WORM-colorings

Dániel Gerbner, Balázs Patkós외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 11.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 및 $n \equiv 1 \pmod{4}$에 대해 정확한 단일 투란 수 $T_S(n, K_3)$를 결정하고, 큰 $n$가 $r$로 나누어떨어지는 경우 $T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$를 증명함으로써 이전에 점근적 결과로만 알려진 정확한 값을 해결한다. 또한 단일 투란 수를 $H$-WORM 색칠과 연결하고, 정규 투란 문제를 제안하며, 비이분 그래프 $F$에 대해 $\mathrm{rex}(n,F)$의 이차 하한을 증명한다. 주요 기여는 정확한 단일 투란 수의 격차를 메우고, 이를 WORM 색칠 및 정규 그래프 극값 문제와 연결하는 데 있다.

ABSTRACT

A subgraph $H$ of $G$ is \ extit{singular} if the vertices of $H$ either have the same degree in $G$ or have pairwise distinct degrees in $G$. The largest number of edges of a graph on $n$ vertices that does not contain a singular copy of $H$ is denoted by $T_S(n,H)$. Caro and Tuza [Theory and Applications of Graphs, 6 (2019), 1--32] obtained the asymptotics of $T_S(n,H)$ for every graph $H$, but determined the exact value of this function only in the case $H=K_3$ and $n\\equiv 2$ (mod 4). We determine $T_S(n,K_3)$ for all $n\\equiv 0$ (mod 4) and $n\\equiv 1$ (mod 4), and also $T_S(n,K_{r+1})$ for large enough $n$ that is divisible by $r$. We also explore the connection to the so-called $H$-WORM colorings (colorings without rainbow or monochromatic copies of $H$) and obtain new results regarding the largest number of edges that a graph with an $H$-WORM coloring can have.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 및 $n \equiv 1 \pmod{4}$에 대해 단일 투란 수 $T_S(n, K_3)$의 정확한 값을 결정함으로써 이전의 점근적 결과를 확장한다.
• 큰 $n$가 $r$로 나누어떨어지는 경우 $T_S(n, K_{r+1})$의 정확한 값을 확립하여 오랫동안 알려지지 않은 단일 투란 수의 격차를 해결한다.
• 단일 투란 수와 $H$-WORM 색칠 간의 관계를 탐구하며, 특히 이러한 색칠을 가진 그래프의 간선 수 최댓값을 구속하는 데 초점을 맞춘다.
• 정규 투란 문제를 제안하며, $n$개 정점에서 $F$-free인 정규 그래프의 최대 간선 수인 $\mathrm{rex}(n,F)$를 정의한다.

제안 방법

• 투란 정리와 $K_5$-free 그래프의 구조적 분석을 이용한 개선된 상한을 통한 $T_S(n, K_3)$의 정확한 값 증명.
• 제어된 파트 크기를 가진 완전한 $r^2$-분할 그래프를 구성하여 큰 $n$가 $r$로 나누어떨어지는 경우 $T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$를 달성한다.
• $K_{r^2+1}$-free 그래프가 단일 $K_{r+1}$를 피하기 위해 필요하다는 사실을 이용하고, 투란 그래프를 기본 구성으로 활용한다.
• $H$-WORM 색칠을 만들기 위해, 서로 다른 크기의 파트를 가진 완전한 $r$-분할 그래프인 $T^*(n,r)$를 도입한다. 이는 단색 또는 레인보우 복제본 $H$ 없이 색칠을 보장한다.
• 파트 내부에 정규 $F$-free 그래프를 추가하여 색칠의 무결성을 유지하고, 파트 간도 degree 충돌을 방지한다.
• 에르되시–사크스 정리를 적용하여 고순환 정규 그래프를 구성하고, $F$의 홀수 순환장이 $g$일 경우 $\mathrm{rex}(n,F)$에 대해 이차 하한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 점근적 경계를 넘어서서 $n \equiv 0 \pmod{4}$ 및 $n \equiv 1 \pmod{4}$일 때 $T_S(n, K_3)$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 $n$과 $r$이 어떤 조건일 때 $T_S(n, K_{r+1})$는 $t'(n, r^2)$와 정확히 같아지며, 이는 단일 $K_{r+1}$가 없는 완전한 $r^2$-분할 그래프의 최대 간선 수인가?
• RQ3 단일 투란 수는 $H$-WORM 색칠과 어떻게 관련되어 있으며, 한 문제의 극값 그래프가 다른 문제의 경계를 구속하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 $n$개 정점에서 $F$-free인 정규 그래프의 최대 간선 수는 무엇이며, 이는 극값 그래프 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $F$가 비이분일 경우 $\mathrm{rex}(n,F)$에 대해 이차 하한을 확립할 수 있으며, 이는 $F$의 홀수 순환장에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 모든 $n = 4k$에서 $k \geq 2$일 때, $T_S(4k, K_3) = 6k^2 - 2$이며, $T_S(4, K_3) = 5$로, $n \equiv 0 \pmod{4}$의 경우 격차를 메꾼다.
• $n = 4k+1$일 때, $T_S(4k+1, K_3) = 6k^2 + 2k$로, 이 잔여 클래스의 정확한 값을 제공한다.
• $n \equiv 3 \pmod{4}$일 때, 경계는 $6k^2 + 8k + 1 \leq T_S(4k+3, K_3) \leq 6k^2 + 8k + 3$로 강화되어 격차가 2로 줄어든다.
• 큰 $n$가 $r$로 나누어떨어지는 경우, $T_S(n, K_{r+1}) = t'(n, r^2)$로, 이는 $r$개의 파트 크기 각각이 $r$번씩 나타나며, 파트 크기가 최대 $r$ 이내로 다를 때 완전한 $r^2$-분할 그래프의 최대 간선 수이다.
• $T^*(n,r)$를 서로 다른 파트 크기를 가진 완전한 $r$-분할 그래프로 구성함으로써 정점의 차수는 유효한 $H$-WORM 색칠을 유도하며, 이는 $\mathrm{wex}(n,F)$에 대한 새로운 경계를 가능하게 한다.
• 모든 비이분 $F$에 대해 홀수 순환장이 $g$일 경우, $\mathrm{rex}(n,F) \geq n^2/(g+6) - O(n)$로, 정규 투란 문제에 대해 이차 하한을 확립한다.