[논문 리뷰] Singularities in the Bethe solution of the XXX and XXZ Heisenberg spin chains

Rahul Siddharthan|arXiv (Cornell University)|1998. 04. 20.

Quantum many-body systems인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 주기적 XXX 및 XXZ 허이젠베르크 스핀 체인에서 베테 앤티제이션의 실패 원인을 규명한다. 베테 모멘타가 발산할 경우 베테 파동함수 계수에 특이점이 발생함에 따라, 이는 모든 고유상태를 일관되게 재현하지 못함을 보여준다. 일부 발산하는 해는 진정한 고유상태에 해당하지만, 많은 해들은 그렇지 않으며, 이 경우 대수적 베테 앤티제이션은 이러한 해에 대해 영이 되는 파동함수를 도출한다. 이는 두 개 이상의 내림스핀을 가진 시스템에서 표준 베테 앤티제이션 접근법이 본질적으로 불완전하거나 부정확하다는 것을 드러낸다.

ABSTRACT

We examine the question of whether Bethe's ansatz reproduces all states in the periodic Heisenberg XXZ and XXX spin chains. As was known to Bethe himself, there are states for which the Bethe momenta $k_n$ diverge: these are in fact the simplest examples of ``string'' solutions. The coefficients of the Bethe wavefunction, too, diverge. When there are only two down spins in the system (the case considered by Bethe), we can renormalize these coefficients to get a sensible (and correct) wavefunction. We show that this is not always possible when there are more than two down spins. The Bethe equations have several such divergent solutions, and some of these correspond to genuine eigenfunctions of the Hamiltonian, but several do not. Nor do they reproduce the correct energy eigenvalues. Moreover, we point out that the algebraic Bethe ansatz, an alternative way to construct the wavefunctions proposed by Faddeev, Takhtajan et al., leads to vanishing wavefunctions for all these solutions. Thus, the Bethe ansatz solution of the Heisenberg model must be regarded as either incomplete, or inaccurate.

연구 동기 및 목표

• 주기적 XXX 및 XXZ 허이젠베르크 스핀 체인에서 베테 앤티제이션이 모든 고유상태를 완전히 재현하는지 조사하기.
• 특히 두 개 이상의 내림스핀을 가진 시스템에서 베테 모멘타가 발산할 경우 베테 파동함수 계수의 행동 분석하기.
• 특이하거나 발산하는 파동함수 계수를 유도하는 베테 방정식의 해의 타당성 평가하기.
• 좌표 베테 앤티제이션과 대수적 베테 앤티제이션 접근법 간의 이러한 특이 해 처리 방식 비교하기.
• 이러한 특이 해가 실제로 고유상태에 해당하는지, 그리고 정확한 에너지 고유값을 갖는지 확인하기.

제안 방법

• 특히 세 개 이상의 내림스핀을 가진 시스템에서, 발산하는 베테 모멘타의 극한에서 좌표 베테 앤티제이션 파동함수 계수 분석하기.
• 동일한 베테 방정식에서 파생된 파동함수를 구성하기 위해 대수적 베테 앤티제이션을 사용하여, 특이 해에 대해 영이 되는 파동함수를 드러내기.
• 유한한 파동함수 계수 비율을 유지하기 위해 파arameter β → ∞으로 향하는 극한 절차를 사용하여, 특이한 진폭에도 불구하고 물리적 내용을 유지하기.
• 소규모 시스템(예: 6사이트 체인)에 대한 명시적 정확 대각화를 통해 특이 해가 실제로 고유상태인지 확인하고, 그 에너지를 계산하기.
• 대수적 베테 앤티제이션에서 유도된 λ-변수를 사용하여 해의 행동 분석하고, 베테 방정식 내 잡음 뿌리 탐지하기.
• 특이 해를 정규화하기 위해 아하로노프-보함 플럭스를 도입한 후, 수렴성과 N번째 단위근에 해당하는 플럭스 값에서의 특이점 재발생 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 베테 방정식의 모든 해가 허이젠베르크 해밀토니안의 물리적 고유상태에 해당하는가?
• RQ2 두 개 이상의 내림스핀을 가진 시스템에서, 발산하는 베테 파동함수 계수를 재정규화하여 유한한 유효한 고유상태를 도출할 수 있는가?
• RQ3 베테 방정식을 만족함에도 불구하고 정확한 에너지 고유값을 재현하지 못하는 일부 해는 왜 발생하는가?
• RQ4 좌표 앤티제이션은 특이한 해를 발산하지만 잠재적으로 물리적인 것으로 간주하는 데 반해, 왜 대수적 앤티제이션은 동일한 특이 해에 대해 영이 되는 파동함수를 도출하는가?
• RQ5 어떤 조건에서 특이 해는 아하로노프-보함 플럭스에 의해 정규화된 이후에도 재발생하는가?

주요 결과

• 두 개 이상의 내림스핀을 가진 시스템에서는 발산하는 베테 모멘타가 특이한 파동함수 계수를 유도하며, 이러한 계수는 일관되게 재정규화하여 유효한 고유상태로 이어지지 않는다.
• 발산하는 모멘타를 가진 베테 방정식의 해들 중에서, 세 개의 내림스핀 케이스(예: N=6)에서는 오직 두 개의 해만 실제 고유상태에 해당하며, 나머지 N−2개의 해는 유령 해이다.
• 대수적 베테 앤티제이션은 모든 특이 해에 대해 영이 되는 파동함수를 도출하여, 이러한 경우에 이 형식이 본질적으로 붕괴됨을 시사한다.
• 파동함수 계수의 비율이 유한한 경우에도 일부 특이 해는 고유상태 조건을 만족하지 못하며, 정확 대각화를 통해 확인된 바로는 그 예측 에너지도 잘못된다.
• 아하로노프-보함 플럭스를 도입하여 방정식을 정규화하더라도, N번째 단위근에 해당하는 플럭스 값에서 특이점이 여전히 존재하여 수치적 불안정성이 발생한다.
• 세 개의 내림스핀을 가진 6사이트 체인에서는 베테 방정식의 여섯 해 중에서 λ=0 및 λ=∞에 해당하는 두 해만 정확한 고유상태를 제공하며, 나머지 네 해는 물리적으로 무의미하고 잘못된 에너지를 유도한다.