[논문 리뷰] Singularities of plurisubharmonic functions and positive closed currents

Alexander Rashkovskii|ArXiv.org|2001. 08. 23.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 61인용 수 4

한 줄 요약

이 종합적 서베이는 복소다양체에서 다중극성 함수와 양성 폐쇄 미분형식의 특이점 분석을 위해 Lelong 수, 일반화된 Lelong 수 및 Monge-Ampère 연산자를 사용하는 포괄적인 프레임워크를 수립한다. 국소 지표와 Newton 다면체를 통해 잔여 Monge-Ampère 질량에 대한 정량적 경계를 도출하며, 특히 원점에서의 정칙 사상의 다중성은 그 Newton 수에 의해 아래에서 유계임을 보여주며, 대수기하학과 복소해석학의 기존 결과들을 복원하고 통합한다.

ABSTRACT

This is a survey of results, both classical and recent, on behaviour of plurisubharmonic functions near their $-\infty$-points, together with the related topics for positive closed currents.

연구 동기 및 목표

• 다중극성 함수와 양성 폐쇄 미분형식에 대한 Lelong 수와 일반화된 Lelong 수의 이론을 체계화하기 위해.
• Siu의 분해와 King-Demailly 공식을 포함한 양성 폐쇄 미분형식의 구조적 공식을 수립하기 위해.
• 국소 지표와 방향성 Lelong 수를 이용해 잔여 Monge-Ampère 질량을 평가하기 위해.
• Newton 다면체와 복소다양체 기법을 통해 정칙 사상의 다중성에 대한 정량적 경계를 유도하기 위해.
• 복소다양체 이론의 고전적 및 최신 결과들을 대수기하학과 복소해석학에의 응용과 통합하기 위해.

제안 방법

• 다중극성 함수의 로그적 특이점 근처에서의 점근적 밀도로서 Lelong 수를 정의하기 위해.
• Monge-Ampère 연산자를 사용해 다중극성 함수와 관련된 미분형식을 정의하고 잔여 질량을 연구하기 위해.
• 국소 지표를 도입하여 Monge-Ampère 질량의 평가를 방향성 특이점의 점근적 분석으로 환원하기 위해.
• Lelong-Jensen-Demailly 공식을 적용하여 적분 가능성 지수와 승수 아이디얼을 Lelong 수와 연결하기 위해.
• King-Demailly 공식을 사용해 미분형식을 분해하고 특이점의 전파를 분석하기 위해.
• Newton 다면체와 볼록집합의 극점에 대한 기하적 적분을 활용해 잔여 질량의 경계를 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lelong 수는 다중극성 함수의 국소적 특이 행동을 어떻게 특징짓는가?
• RQ2 일반화된 Lelong 수와 다중극성 함수의 적분 가능성 지수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 국소 지표와 방향성 Lelong 수를 사용해 어떤 미분형식의 잔여 Monge-Ampère 질량을 평가할 수 있는가?
• RQ4 Newton 다면체와 복소다양체 이론을 통해 정칙 사상의 다중성에 대해 유도할 수 있는 경계는 무엇인가?
• RQ5 방향성 Lelong 수에 기반한 잔여 Monge-Ampère 질량 경계에서 등호가 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 특이점이 다중원형인 다중극성 함수의 잔여 Monge-Ampère 질량은 그 Newton 수와 같으며, 이는 좌표 방향에서의 방향성 Lelong 수의 곱에 의해 위에서 유계임이 보장된다.
• 정칙 사상 $ f $에 대해 원점에서의 다중성 $ m_f $ 는 $ m_f /geq N_f $ 를 만족하며, 여기서 $ N_f $ 는 $ f $ 의 Newton 수이다. 이는 Kouchnirenko의 경계를 복원한다.
• 가중치 $ \varphi $ 가 다중원형 특이성을 가지며 $ -\infty $ 집합이 좌표축을 피할 경우, 경계 $ \nu(u,\varphi) \geq n! \int_{E^\varphi} \nu(u,0,-t) \, d\gamma^\varphi(t) $ 에서 등호가 성립한다.
• $ L^\varphi $ 의 극점에 정의된 측도 $ \gamma^\varphi $ 는 볼록집합 $ \Theta_F^\varphi $ 의 체적에 의해 결정되며, 기하학적 특성과 특이 질량 평가를 연결한다.
• $ u = \log|f| $ 인 경우, Newton 다면체 $ B_u $ 는 $ f $ 의 Newton 다이어그램의 볼록결합이며, 잔여 질량 $ \mathcal{R}_u $ 는 Newton 수 $ \tau_u $ 와 같다.
• 가중치 동차 성분에 대해 $ m_f \geq \frac{m_{f_1,a} \cdots m_{f_n,a}}{a_1 \cdots a_n} $ 이 성립하며, 이는 Bezout 유형 부등식을 일반화한다.