[논문 리뷰] Singularities with respect to Mather-Jacobian discrepancies

Lawrence Ein, Shihoko Ishii|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비정규성 및 비-$\mathbb{Q}$-Gorenstein 다양체를 위한 표준적이고 로그 표준적 특이점의 정의를 위해 Mather-Jacobian 불일치를 도입한다. 이는 고전적 특이점 이론을 일반화한 것으로, 기본 성질을 확립하고, 인버션 오브 어드제션을 증명하며, 차원 2 이하의 모든 MJ-로그 표준적 및 MJ-표준적 특이점을 분류한다. 이 특이점들은 변형에 대해 잘 행동하며, Segre 매핑 위의 원뿔과 같은 비정규 예도 포함한다.

ABSTRACT

As is well known, the "usual discrepancy" is defined for a normal Q-Gorenstein variety. By using this discrepancy we can define a canonical singularity and a log canonical singularity. In the same way, by using a new notion, Mather-Jacobian discrepancy introduced in recent papers we can define a "canonical singularity" and a "log canonical singularity" for not necessarily normal or Q-Gorenstein varieties. In this paper, we show basic properties of these singularities, behavior of these singularities under deformations and determine all these singularities of dimension up to 2.

연구 동기 및 목표

• 정규성 및 $\mathbb{Q}$-Gorenstein이 아닌 다양체로의 고전적 표준적 및 로그 표준적 특이점 이론을 확장하기 위해.
• 임의의 축소된 등차원 스킴를 위한 Mather-Jacobian 불일치를 사용하여 MJ-표준적 및 MJ-로그 표준적 특이점을 정의하기 위해.
• 이 특이점들의 기본 성질을 확립하며, 변형에 대한 행동을 포함하기 위해.
• 차원 2 이하의 모든 MJ-표준적 및 MJ-로그 표준적 특이점을 분류하기 위해.
• 새로운 프레임워크가 원뿔 위의 Segre 매핑과 같은 중요한 비정규 특이점을 포괄함을 보여주기 위해.

제안 방법

• Mather-Jacobian 불일치의 분할을 $ \widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X} $로 정의하며, 여기서 $ \widehat{K}_{Y/X} $는 Mather 불일치이고 $ J_{Y/X} $는 자코비안 불일치이다.
• Mather-Jacobian 로그 불일치를 $ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{ord}_E(\widehat{K}_{Y/X} - J_{Y/X}) - t\operatorname{val}_E(\mathfrak{a}) + 1 $로 정의한다.
• 모든 예외적 인피니티 디바이저 $ E $에 대해 $ a_{\operatorname{MJ}}(E;X,\mathfrak{a}^t) $에 대한 부등식을 통해 MJ-표준적, MJ-로그 표준적, MJ-터미널, MJ-klt 특이점을 정의한다.
• MJ-불일치에 대한 인버션 오브 어드제션을 증명한다: $ \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;X,\mathfrak{a}^t) = \operatorname{mld}_{\operatorname{MJ}}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) = \operatorname{mld}(W;A,\widetilde{\mathfrak{a}}^t I_X^c) $.
• Nash 블로우업을 통과하는 로그 해상도를 사용하여 Mather-Jacobian 불일치를 비틀림 불변 방식으로 정의한다.
• 완전 교차 모델과 그 열악한 극한을 분석함으로써, 차원 ≤2에서의 모든 MJ-로그 표준적 및 MJ-표준적 특이점을 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규성 및 비-$\mathbb{Q}$-Gorenstein 다양체로의 표준적 및 로그 표준적 특이점은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 MJ-표준적 및 MJ-로그 표준적 특이점의 기본 성질은 무엇이며, 변형에 대한 행동은 어떠한가?
• RQ3 차원 ≤2인 특이점 중에서 MJ-로그 표준적 또는 MJ-표준적인 것은 무엇이며, 고전적 특이점과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 Mather-Jacobian 불일치는 인버션 오브 어드제션을 만족하는가? 그 결과는 무엇인가?
• RQ5 원뿔 위의 Segre 매핑과 같은 비정규 특이점은 MJ-이론으로 포괄될 수 있는가?

주요 결과

• Mather-Jacobian 불일치는 고전적 불일치를 일반화하며, 비정규성 및 비-$\mathbb{Q}$-Gorenstein 다양체에 대해 MJ-표준적 및 MJ-로그 표준적 특이점을 정의할 수 있게 한다.
• 만약 다양체가 정규성 및 $\mathbb{Q}$-Gorenstein이라면, MJ-표준적(또는 MJ-로그 표준적) 특이점은 고전적 의미에서 표준적(또는 로그 표준적) 특이점임을 암시한다.
• MJ-불일치에 대해 인버션 오브 어드제션이 성립하며, 이는 MJ-최소 로그 불일치가 환경 공간에서 고전적 mld와 연결됨을 보여준다.
• 차원 ≤2에서의 모든 MJ-로그 표준적 및 MJ-표준적 특이점은 분류되었으며, Segre 매핑 위의 원뿔과 같은 예, 또는 일반적인 노드를 가진 유리 곡선의 합집합 등도 포함된다.
• S_2가 아닌 MJ-로그 표준적 특이점이 존재한다. 예를 들어 두 개의 표면이 한 점에서 만날 경우, 이는 비-Cohen-Macaulay 특이점을 포괄함을 보여준다.
• 네 개의 ${\mathbb{P}}^1$이 일반적인 이중점들을 가진 사이클을 이루는 원뿔의 예는 MJ-로그 표준적이지만, 준-로그 표준적이지 않다. 이는 MJ-이론과 다른 특이점 클래스 사이의 구분을 보여준다.