[논문 리뷰] Singularity formation and regularization at multiple times in the viscous Hamilton-Jacobi equation

Noriko Mizoguchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 차원에서 여러 번의 임의로 순서가 정해진 시간에 기울기 폭발(GBU)과 경계 조건 상실(LBC)을 겪는 점성 해밀턴-자코비 방정식의 전역 점성 해를 구성한다. 비판적 매개변수와 연속성 추론에 기반한 새로운 방법을 사용하여, m ≥ 1개의 서로 다른 시간에 GBU와/또는 LBC를 포함하는 임의의 조합을 갖는 해의 존재를 증명하며, 새로운 '반사' 행동까지 포함하고, 1차원에서 완전한 분류를 제공한다. 고차원에서는 원형 대칭 해로 확장된다.

ABSTRACT

The Cauchy-Dirichlet pbm for the superquadratic viscous Hamilton-Jacobi eqn (VHJ), which has important applications in stochastic control theory, admits a unique, global viscosity solution. Sol. thus exist in the weak sense after appearance of singularity in finite time, which occurs through gradient blow-up (GBU) on the boundary. Whereas theory of visc. sol. has been extensively studied and applied to many PDEs, there are less results on refined behavior of sol. In particular, detailed behavior of visc. sol. of VHJ after GBU has remained mostly open. Here, in general dim., for each $m\ge 1$ we construct sol. which undergo GBU and LBC at least at $m$ times and then recover regularity, as well as sol. that exhibit GBU without LBC at 1st blowup time. In 1d, we obtain the complete classification of visc. sol. at each time, which extends to radial cases in higher d. Furthermore for each $m\ge 2$ and arbitrarily given combination of GBU types with/without LBC at $m$ times in arbitrarily given order, we show exist. of a sol. with this exact combination of GBU. Some sol. display a new type of behavior called "bouncing". Global weak sol. of VHJ with multiple time singularity turn out to display larger variety of behaviors than for the Fujita eqn. We introduce a method based on an arbitrary number of critical parameters, whose continuity requires a delicate argument. Since we do not rely on any known special sol. unlike in Fujita eqn, our method is expected to apply to other eqns. Singular behaviors at multiple times are completely new in the context of VHJ but also of stochastic control theory. In this framework our results imply that for certain spatial distributions of rewards, if a controled Brownian particle starts near the boundary, then the net gain attains profitable values on different time horizons but not on some intermediate times.

연구 동기 및 목표

• 점성 해밀턴-자코비 방정식에서 기울기 폭발(GBU) 이후의 정교한 장기적 행동을 조사하는 것.
• 단일 사건 외에, 해가 여러 개의 서로 다른 시간에 GBU와 경계 조건 상실(LBC)을 겪을 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 일차원에서의 점성 해의 가능한 모든 행동을 분류하고, 고차원에서 원형 해로 확장하는 것.
• m ≥ 1개의 지정된 시간에 GBU와/또한 LBC를 포함하는 임의의 순서로 발생하는 해를 구성하는 것, 특히 새로운 '반사' 역학을 포함하여.
• 특수한 경우에 국한되지 않고 알려진 정확한 해에 의존하지 않는 일반적인 방법을 개발하여 비선형 PDE에서의 특이 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 해의 특이성 형성과 복구를 제어하기 위해 임의의 수의 비판적 매개변수를 기반으로 한 방법을 도입한다.
• 이 매개변수들에 걸쳐 연속성 추론을 활용하여, 지정된 시간에 원하는 GBU 및 LBC 패tern을 갖는 해의 존재를 보장한다.
• 절단 함수와 볼록 확장을 활용한 변형 기법을 사용하여 초기 자료를 수정하고, 원하는 정규성과 경계 행동을 갖는 해를 구성한다.
• 노달 집합의 진화를 추적하고 파생항의 부호 변화 수를 제어하기 위해 0의 수 성질과 단조성 분석을 적용한다.
• 비교 원리와 근사화 방법을 활용하여, 폭발 이후의 점성 해의 성질과 정규성을 확립한다.
• 대칭성과 척도 조정을 활용하여 1차원에서의 결과를 고차원에서 원형 해로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 차원에서 점성 해밀턴-자코비 방정식의 점성 해가 여러 개의 서로 다른 시간에 기울기 폭발(GBU)과 경계 조건 상실(LBC)을 겪을 수 있는가?
• RQ2 m ≥ 1개의 지정된 시간에 GBU와/또는 LBC를 포함하는 임의의 순서로 발생하는 해를 구성하는 것이 가능한가?
• RQ3 GBU 및 LBC 행동 측면에서, 일차원에서의 점성 해의 완전한 분류는 무엇이며, 고차원에서 원형 해로의 확장은 어떻게 이루어지는가?
• RQ4 GBU와 LBC 이후 정규성이 회복되고 다시 상실되는 '반사'와 같은 새로운 유형의 행동을 보이는 해가 존재하는가?
• RQ5 이 방법은 특수한 해나 정확한 해에 의존하지 않고도 다른 방정식로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 m ≥ 1에 대해, 정규성이 사건 사이에 복구되는 바, 최소한 m번의 GBU 및 LBC를 겪는 전역 점성 해를 구성한다.
• 모든 m ≥ 2 및 임의의 GBU 유형 순서(또는 LBC 포함 여부)에 대해, 정확히 그 순서의 행동을 m개의 서로 다른 시간에 나타내는 해의 존재를 증명한다.
• 일차원에서는 각 시간에 대해 모든 점성 해의 완전한 분류를 제공하며, 고차원에서는 원형 해로 확장된다.
• GBU와 LBC 이후 정규성이 회복되고 다시 동일한 과정을 반복하는 새로운 '반사' 행동을 보이는 해를 구성한다.
• 이 방법은 알려진 특수 해에 의존하지 않으며, 점성 해밀턴-자코비 방정식 외의 다른 비선형 PDE에도 일반적으로 적용 가능할 수 있다.
• 결과는 푸지타 방정식에서 관찰된 것보다 더 풍부한 특이 행동의 다양성을 드러내며, 특히 확률적 제어 이론의 맥락에서 의미가 있다.