[논문 리뷰] SIR epidemics on evolving graphs

Yufeng Jiang, Remy Kassem외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 19.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평균 차수 μ를 가진 에르되시-레니 랜덤 그래프에서 감염자로부터 회피하는 감염자와 회복자(SIR) 모델인 evoSIR 모델을 연구한다. 감염된 이웃으로부터 회피하는 감수성 개인의 비율은 ρ이다. 이 논문은 evoSIR 모델과 엣지가 제거되는 delSIR 모델 간에 임계 감염률 λc와 대규모 유행병 발생 확률이 동일하다는 것을 증명하며, 대규모 delSIR 유행병의 최종 크기는 연속 전이를 겪는 반면, 시뮬레이션 결과 evoSIR는 λc에서 비연속 전이를 보인다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We consider evoSIR, a variant of the SIR model, on Erd\H os-Renyi random graphs in which susceptibles with an infected neighbor break that connection at rate $ρ$ and rewire to a randomly chosen individual. We compute the critical infection rate $λ_c$ and the probability of a large epidemic by showing that they are the same for the delSIR model in which $S-I$ connections are deleted instead of rewired. The final size of a large delSIR epidemic has a continuous transition. Simulations suggest that the final size of a large evoSIR epidemic is discontinuous at $λ_c$.

연구 동기 및 목표

• evoSIR 모델을 분석한다. 이는 감수성 개인이 감염자로부터 회피하는 변형된 SIR 유행병 과정으로, 변화하는 랜덤 그래프에서 일어난다.
• evoSIR에서 대규모 유행병 발생의 시작을 위한 임계 감염률 λc를 결정한다.
• evoSIR의 최종 크기 행동을 엣지가 제거되는 대신 회피되는 delSIR 모델과 비교한다.
• evoSIR에서 대규모 유행병의 최종 크기가 λc에서 연속적 또는 비연속적 상전이를 보이는지 조사한다.

제안 방법

• 평균 차수 μ를 가진 에르되시-레니 랜덤 그래프 G(n, μ/n)에서 유행병 과정을 모델링한다.
• 두 가지 변형을 도입한다: evoSIR에서는 S-I 간선이 비율 ρ로 무작위 개인에게 재연결되고, delSIR에서는 S-I 간선이 비율 ρ로 제거된다.
• 마팅게일 기법과 분기 과정 근사법을 사용하여 임계 임계값 λc를 유도한다.
• 무한소 평균과 분산 계산을 포함한 연속 시간 마르코프 체인 접근법을 적용하여 결정론적 극한으로의 수렴을 보인다.
• 고정 시간 재연결 조건 하에서 탐색되지 않은 정점의 감수성 및 평균 차수의 진화를 위한 미분방정식 시스템을 유도한다.
• 생성 함수와 대수법의 법칙을 사용하여 감염자 수의 정규화된 수가 결정론적 함수로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에르되시-레니 랜덤 그래프에서 evoSIR 모델의 임계 감염률 λc는 무엇인가?
• RQ2 evoSIR와 delSIR 모델 간에 임계 임계값과 대규모 유행병 발생 확률이 동일한가?
• RQ3 evoSIR에서 대규모 유행병의 최종 크기가 λc에서 연속적 또는 비연속적 상전이를 보이는가?
• RQ4 재연결 행동은 표준 SIR 모델과 비교해 최종 유행병 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 그래프 크기 n → ∞일 때 유행병 과정의 극한 행동은 무엇인가?

주요 결과

• evoSIR의 임계 감염률 λc는 delSIR 모델과 동일하여, 대규모 유행병 발생에 대한 동일한 임계값을 가짐을 의미한다.
• 대규모 delSIR 유행병의 최종 크기는 λc에서 연속적인 상전이를 겪는다.
• 시뮬레이션 결과에 따르면, 대규모 evoSIR 유행병의 최종 크기는 λc에서 비연속적인 전이를 보인다.
• n → ∞일 때 정규화된 감염자 수 U[ns]/n은 거의 확실히 e^{-sμEτ}로 수렴하여 결정론적 극한을 확립한다.
• 고정 시간 재연결 조건 하에서 u_s와 v_s의 미분방정식 시스템은 u = A / (B + (A - B)e^{At}) 형태의 해를 가지며, 이는 시간에 따른 감수성 비율의 역학을 나타낸다.
• αu_s + (1−α)v_s는 시간에 따라 보존되며, 여기서 α는 재연결 확률이다. 이는 v_s를 u_s에 대한 닫힌 형태 식으로 표현할 수 있음을 의미한다.