[논문 리뷰] Sistemas de Lie y sus aplicaciones en física y teoría de control

Arturo Ramos Gutiérrez|arXiv (Cornell University)|2002. 01. 01.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 251인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리 군 구조를 갖는 비선형 동역계 시스템인 리 시스템의 기하학적 이론을 개발하고 물리학 및 제어 이론에 적용한다. 위-너먼 방법을 일반화하고 주기본다발 위의 접속과의 관계를 설정하며, 양자역학, 리카티 방정식, 제어 시스템에 대한 적용을 통해 리카티 방정식에서의 애핀 작용과 새로운 축소 기법을 제시한다.

ABSTRACT

Se estudia la estructura geometrica de los llamados sistemas de Lie y algunas aplicaciones de tal estudio en fisica y teoria de control, Resumimos las principales contribuciones originales de la Tesis. En el capitulo 1 se presenta el Teorema de Lie que caracteriza tales sistemas y se encuentra una accion afin del grupo de curvas en SL(2,R) sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati. En el capitulo 2 se formula la teoria geometrica de los sistemas de Lie en grupos de Lie y espacios homogeneos. Se generalia la accion afin anterior al caso de un sistema de Lie arbitrario. Se generaliza el metodo de Wei-Norman y se desarrolla una tecnica de reduccion de sistemas de Lie. Se establece la relacion de los sistemas de Lie con conexiones en fibrados principales y asociados. En el capitulo 3 se ilustra la aplicacion de la teoria a diferentes sistemas de Lie de interes. En el capitulo 4 se aplica la teroria a problemas de mecanica cuantica unidimensional, en concreto a los problemas de operadores entrelazados, transformaciones de Darbouz y mecanica cuantica supersimetrica, asi como a los problemas llamados invariantes de forma. En el capitulo 5 se usa la accion afin sobre el conjunto de ecuaciones de Riccati para explicar el algoritmo de diferencias finitas y el problema de los Hamiltonianos entrelazados. Se generalizan las transformaciones de Darboux de ecuaciones diferenciales de segundo orden. En el capitulo 6 se aplica la teoria a sistemas Hamiltonianos clasicos y cuanticos que ademas pueden considerarse como sistemas de Lie. Finalmente, en el capitulo 7 se muestran aplicaciones en la teoria geometrica de control. Se establecen nuevas relaciones entre sistemas de control, identificando sistemas en base a su estructura algebraica, y por medio de la mencionada tecnica de reduccion. Se emplea sistematicamente el metodo generalizado de Wei-Norman en tales sistemas.

연구 동기 및 목표

• 리 군과 동차공간을 이용한 리 시스템에 대한 기하학적 프레임워크를 개발한다.
• 리 시스템을 해결하기 위한 위-너먼 방법을 일반화하고 축소 기법을 도입한다.
• 리 시스템과 주기본다발 및 관련다발 위의 접속 사이의 관계를 수립한다.
• 리 시스템 이론을 양자역학적 시스템, 특히 초대칭 양자역학과 형태불변 잠재력에 적용한다.
• 고전적 및 양자역학적 해밀토니안 시스템과 기하학적 제어 이론에 응용한다.

제안 방법

• 기하학적 구조를 사용하여 리 군과 동차공간 위의 리 시스템을 수립한다.
• SL(2,R) 내의 곡선군이 리카티 방정식에 작용하는 애핀 작용을 도입하고, 이를 임의의 리 시스템으로 일반화한다.
• 구조상수와 시간순서 지수함수를 통해 리 시스템을 해결하기 위해 위-너먼 방법을 확장한다.
• 대수적 구조와 대칭성을 바탕으로 리 시스템을 단순화하는 축소 기법을 유도한다.
• 곡률과 평행이동을 통해 리 시스템과 주기본다발 위의 접속 사이의 대응관계를 수립한다.
• 일관된 방법으로 일반화된 위-너먼 방법을 제어 시스템에 적용하여, 대수적 구조로 시스템을 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 및 대수적 구조를 사용하여 리 시스템을 체계적으로 특성화하고 축소할 수 있는가?
• RQ2 리카티 방정식에 대한 애핀 작용이 다양한 미분방정식과 수치적 방법을 통합하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ3 주기본다발 위의 접속은 리 시스템의 역학과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 일반화된 위-너먼 방법은 형태불변 잠재력을 갖는 양자역학적 시스템에 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ5 기하학적 제어 이론은 그 기반에 있는 리 대수적 구조로 제어 시스템을 분류함으로써 어떻게 풍부화될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 리 군과 동차공간 위의 리 시스템에 대한 일반적인 기하학적 프레임워크를 수립하여 다양한 동역계 시스템을 통합한다.
• SL(2,R) 내 곡선군이 리카티 방정식에 작용하는 애핀 작용이 임의의 리 시스템으로 일반화되어 새로운 해법 기법을 가능하게 한다.
• 일반화된 위-너먼 방법이 확장되어 리 시스템을 해결하는 데 적용되며, 특히 양자역학적 맥락에서 유용하다.
• 대수적 및 기하학적 대칭성을 바탕으로 한 리 시스템의 새로운 축소 기법이 개발된다.
• 리 시스템과 주기본다발 위의 접속 사이의 이론적 연결이 수립되어 그 역학의 더 깊은 기하학적 기초를 드러낸다.
• 기하학적 제어 이론에의 적용은 대수적 구조로 시스템을 식별함으로써 체계적인 분류와 일반화된 위-너먼 방법을 통한 해법을 가능하게 한다.