[논문 리뷰] Size-Ramsey numbers of powers of hypergraph trees and long subdivisions

Shoham Letzter, Alexey Pokrovskiy외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 02.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정된 $r, s, t$에 대해 $n$개의 정점으로 구성된 $r$-균일한 타이트 경로의 $t$-거듭제곱의 $s$-색상 크기-람지 수가 $n$에 대해 선형임을 증명한다. 또한 유계 차수를 가진 초그래프 트리의 거듭제곱과 유계 차수를 가진 초그래프의 장거리 분할에도 크기-람지 수가 선형임을 추가로 증명하여, 두데크, 라플루어, 무바이, 라를의 초그래프 경로에 대한 크기-람지 수의 선형성에 관한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

The $s$-colour size-Ramsey number of a hypergraph $H$ is the minimum number of edges in a hypergraph $G$ whose every $s$-edge-colouring contains a monochromatic copy of $H$. We show that the $s$-colour size-Ramsey number of the $t$-power of the $r$-uniform tight path on $n$ vertices is linear in $n$, for every fixed $r, s, t$, thus answering a question of Dudek, La Fleur, Mubayi, and Rödl (2017). In fact, we prove a stronger result that allows us to deduce that powers of bounded degree hypergraph trees and powers of `long subdivisions' of bounded degree hypergraphs have size-Ramsey numbers that are linear in the number of vertices. This extends and strongly generalises recent results about the linearity of size-Ramsey numbers of powers of bounded degree trees and of long subdivisions of bounded degree graphs.

연구 동기 및 목표

• $r$-균일한 타이트 경로에 대한 크기-람지 수의 선형성에 관한 두데크, 라플루어, 무바이, 라를의 추측을 해결하기 위해.
• 백의 결과인 경로의 크기-람지 수에 대한 일반화를 초그래프와 그 거듭제곱으로 확장하기 위해.
• 유계 차수를 가진 초그래프 트리의 거듭제곱과 유계 차수를 가진 초그래프의 장거리 분할에 대해 선형 크기-람지 수를 확립하기 위해.
• 최근에 유계 차수를 가진 그래프의 거듭제곱에 대한 결과를 초그래프 설정으로 확장하기 위해.

제안 방법

• $r$-균일한 타이트 경로의 $t$-거듭제곱을 정의하여, 길이 $r + t - 1$인 간격에 포함된 $r$-집합이 간선이 되는 초그래프로 정의한다.
• 확률적 구성 방법을 사용하여, 임의의 $s$-간선 색칠에서 $t$-거듭제곱 타이트 경로의 단색 복제본을 보장하는 $O(n)$개의 간선을 가진 호스트 초그래프 $G$를 구축한다.
• 단색 포함성을 보장하기 위해 초그래프에 특화된 희박한 정규화 방법과 임bedding 기법을 적용한다.
• 간선 연결성에 대한 구조적 분해와 수학적 귀납법을 통해 초그래프 트리와 장거리 분할로 일반화한다.
• 기존의 유계 차수 그래프에 대한 결과를 초그래프로 확장하기 위해 초그래프 정규화와 조밀도 분석을 활용한다.
• 초그래프 트리에서의 거리와 연결성의 정교한 분석을 통해 크기-람지 수의 성장률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $r, s, t$에 대해 $n$개의 정점으로 구성된 $r$-균일한 타이트 경로의 $t$-거듭제곱의 $s$-색상 크기-람지 수는 $n$에 대해 선형인가?
• RQ2 유계 차수를 가진 초그래프 트리의 거듭제곱은 선형 크기-람지 수를 갖는가?
• RQ3 유계 차수를 가진 초그래프의 장거리 분할은 선형 크기-람지 수를 갖는가?
• RQ4 크기-람지 수의 선형성은 단순한 경로를 초과하여 그래프에서 초그래프로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 $r, s, t$에 대해 $n$개의 정점으로 구성된 $r$-균일한 타이트 경로의 $t$-거듭제곱의 $s$-색상 크기-람지 수는 $O(n)$이다.
• 유계 차수를 가진 초그래프 트리의 거듭제곱의 크기-람지 수는 정점 수에 대해 선형이다.
• 유계 차수를 가진 초그래프의 장거리 분할의 크기-람지 수는 정점 수에 대해 선형이다.
• 이 결과는 이전의 초그래프 경로에 대한 크기-람지 수의 경계를 강화하여, $r \geq 4$일 때 $\hat{r}(P_n^{(r)}) = O(n)$인지 여부에 대한 열린 문제를 해결한다.
• 이 논문은 단순한 경로를 초월하여 그래프에서 초그래프로의 선형 크기-람지 수의 일반화를 처음으로 제공한다.
• 증명 기법은 초그래프 트리와 분할로까지 확장되어 더 넓은 초그래프 가족에 걸쳐 강력함을 보여준다.