[논문 리뷰] Skew cyclic and skew $(α_1 + uα_2 + vα_3 + uvα_4)$-constacyclic codes over $F_q + uF_q + vF_q + uvF_q$

Habibul Islam, Om Prakash|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 21.

Coding theory and cryptography인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한환 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 위에서 비틀림 순환 및 비틀림 $(\alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4)$-상수순환 코드를 조사한다. 여기서 $q = p^m$, $p$는 홀수이다. 비틀림 순환 코드의 그레이 이미지가 $\mathbb{F}_q$ 위에서 색인 4인 비틀림 준순환 코드임을 규명하고, 부분환 위에서의 분해를 통해 생성 다항식과 아이디מפ로턴트 생성자를 제공하며, 비틀림 상수순환 코드가 상수순환 또는 준-twisted임과 동치임을 보여준다.

ABSTRACT

In this note, we study skew cyclic and skew constacyclic codes over the ring $\mathcal{R}=F_{q}+uF_{q}+vF_{q}+uvF_{q}$ where $q=p^{m},$ $p$ is an odd prime, $u^{2}=u,~v^{2}=v,~uv=vu$. We show that Gray images of a skew cyclic and skew $α$-constacyclic code of length $n$ are skew quasi-cyclic code of length $4n$ over $F_{q}$ of index 4. Also, it is shown that skew $α$-constacyclic codes are either equivalent to $α$-constacyclic codes or $α$-quasi-twisted codes over $\mathcal{R}$. Further, structural properties, specially, generating polynomials and idempotent generators for skew cyclic and skew constacyclic codes are determined by decomposition method.

연구 동기 및 목표

• 비틀림 순환 및 비틀림 상수순환 코드를 연구한다. 이는 $u^2 = u$, $v^2 = v$, $uv = vu$를 만족하는 비체인, 비가환 환 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 위에서 이루어진다.
• 부분환 위에서의 분해 방법을 활용하여 이러한 코드의 구조적 성질, 특히 생성 다항식과 아이디프로턴트 생성자를 규명한다.
• 비틀림 상수순환 코드와 그 상수순환 또는 준-twisted 코드와의 동치성 관계를 특성화한다.
• 비틀림 순환 코드의 그레이 맵 이미지를 분석하고, 이가 $\mathbb{F}_q$ 위에서 색인 4인 비틀림 준순환 코드로 나타남을 보여준다.

제안 방법

• 비가환 곱셈을 정의하기 위해 스칼라 다항식 환 $\mathcal{R}[x; \theta_t]$를 사용한다. 여기서 $\theta_t$는 프로베누스 자기동형사상 $a \mapsto a^{p^t}$이며, $ (ax^i) \ast (bx^j) = a \theta_t^i(b) x^{i+j} $로 정의된다.
• 환 $\mathcal{R}$를 네 개의 직교 아이디알 $(1-u-v+uv)$, $(u-uv)$, $(v-uv)$, $uv$로 분해하여, 코드의 구조를 $\mathbb{F}_q$ 위의 부분코드로 환원한다.
• 코드를 $\mathbb{F}_q$ 위의 코드로 매핑하기 위해 그레이 맵 $\phi: \mathcal{R}^n \to \mathbb{F}_q^{4n}$을 적용하며, 해밍 무게를 유지하고 이미지 코드의 분석을 가능하게 한다.
• 비틀림 상수순환 코드의 생성 다항식을 $\mathcal{R}[x; \theta_t]$에서 $x^n - \alpha$를 인수분해하여 도출한다. 여기서 $\alpha = \alpha_1 + u\alpha_2 + v\alpha_3 + uv\alpha_4$이며, $f(x)$가 $x^n - \alpha$의 우측 인수임을 보여준다.
• 부분환 $\mathbb{F}_q[x; \theta_t]/\langle x^n - \beta \rangle$에서의 아이디프로턴트를 올려서 아이디프로턴트 생성자를 구성한다. 여기서 $\beta \in \{\alpha_1, \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 + \alpha_3, \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4\}$이다.
• 부분환 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$에서 아이디프로턴트 생성자가 존재하기 위해 $\gcd(n, k) = 1$ 조건을 사용하며, 여기서 $k = m/t$이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림 순환 코드의 구조는 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q$ 위에서 프로베누스 자기동형사상 $\theta_t$에 대해 어떻게 되는가?
• RQ2 비틀림 순환 코드의 그레이 이미지는 $\mathcal{R}$ 위에서 어떻게 행동하며, $\mathbb{F}_q$ 위에서 어떤 코드 유형에 속하는가?
• RQ3 비틀림 $\alpha$-상수순환 코드가 $\alpha$-상수순환 코드 또는 $\alpha$-준-twisted 코드와 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비틀림 상수순환 코드의 생성 다항식과 아이디프로턴트 생성자는 무엇이며, 분해를 통해 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 비틀림 상수순환 코드가 자기수반일 필요 및 충분 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 길이 $n$인 $\mathcal{R}$ 위의 임의의 비틀림 순환 코드의 그레이 이미지는 $\mathbb{F}_q$ 위에서 색인 4, 길이 $4n$인 비틀림 준순환 코드이다.
• 비틀림 $\alpha$-상수순환 코드는 $n$과 $k = m/t$ 사이의 최대공약수 조건에 따라 상수순환 코드 또는 준-twisted 코드와 동치이다.
• 몫환 $\mathcal{R}[x; \theta_t]/\langle x^n - \alpha \rangle$의 각 좌측 이상은 단일 다항식에 의해 생성되며, 이는 모든 비틀림 상수순환 코드가 주로 생성됨을 의미한다.
• 아이디프로턴트 생성자가 존재하는 조건은 $\gcd(n, k) = 1$이며, 생성자는 $e(x) = (1-u-v+uv)e_1(x) + (u-uv)e_2(x) + (v-uv)e_3(x) + uve_4(x)$로 구성되며, 여기서 $e_i(x)$는 $\mathbb{F}_q$ 위에서의 아이디프로턴트 생성자이다.
• 비틀림 $\alpha$-상수순환 코드 $\mathcal{C} = \langle f(x) \rangle$의 쌍대는 수반 다항식 $\widehat{h}(x)$에 의해 생성되며, $|\mathcal{C}^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg f_i(x)}$이다.
• 예시를 통해 자기수반 비틀림 상수순환 코드가 존재함을 확인할 수 있다. 예를 들어, $\mathcal{R} = \mathbb{F}_{49} + u\mathbb{F}_{49} + v\mathbb{F}_{49} + uv\mathbb{F}_{49}$ 위에서 길이 4인 자기수반 코드가 존재하며, $\alpha = 1 - 2uv$이고, $\mathbb{F}_9 + u\mathbb{F}_9 + v\mathbb{F}_9 + uv\mathbb{F}_9$ 위에서 길이 7인 상수순환 코드가 존재하며, $f(x)$는 $x^7 - (1 - 2v - 2uv)$를 나누는 다항식이다.