[논문 리뷰] Skew Cyclic codes over $\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$

Ting Yao, Minjia Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 29.

Coding theory and cryptography참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ u^2 = u $, $ v^2 = v $, $ uv = vu $, 그리고 $ q = p^m $ (홀수 소수 $ p $에 대해)를 만족하는 링 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 위에서의 기울임 순환 코드를 연구한다. 정규직교 아이디포텐트를 기반으로 한 분해 정리에 의해, 저자들은 기울임 순환 코드를 기울임 다항식 링의 아이디얼로 특성화하고, 길이 $ n $이 홀수일 경우의 이러한 코드의 수를 다음과 같은 공식으로 도출한다: $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $, 여기서 $ x^n - 1 = \prod p_i^{s_i}(x) $ 는 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 내에서의 인수분해이다. 주요 기여는 생성 다항식과 그 Gray 이미지를 통한 이러한 코드의 수세기 및 구조적 특성화이다.

ABSTRACT

In this paper, we study skew cyclic codes over the ring $R=\F_q+u\F_q+v\F_q+uv\F_q$, where $u^{2}=u,v^{2}=v,uv=vu$, $q=p^{m}$ and $p$ is an odd prime. We investigate the structural properties of skew cyclic codes over $R$ through a decomposition theorem. Furthermore, we give a formula for the number of skew cyclic codes of length $n$ over $R.$

연구 동기 및 목표

• 기울임 순환 코드의 구조적 성질을 링 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 위에서 연구한다. 여기서 $ u^2 = u $, $ v^2 = v $, $ uv = vu $, 그리고 $ q = p^m $ (홀수 소수 $ p $에 대해)이다.
• 정규직교 아이디포텐트 $ \eta_1, \eta_2, \eta_3, \eta_4 $를 활용하여, $ R $ 위의 기울임 순환 코드를 $ \mathbb{F}_q $ 내의 구성요소를 통해 분석할 수 있도록 하는 분해 정리를 수립한다.
• 기울임 다항식 링 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 내에서 $ x^n - 1 $ 의 인수분해에 기반하여, 길이 $ n $이 홀수인 $ R $ 위의 서로 다른 기울임 순환 코드의 수를 계산하는 공식을 도출한다.
• 이러한 코드의 Gray 사상 이미지와 그 매개변수들이 $ \mathbb{F}_q $ 위의 구성 코드로부터 어떻게 계산될 수 있는지 탐구한다.

제안 방법

• $ R $ 는 정규직교 아이디포텐트 $ \eta_1 = 1 - u - v + uv $, $ \eta_2 = uv $, $ \eta_3 = u - uv $, $ \eta_4 = v - uv $ 를 사용하여 $ \mathbb{F}_q $ 의 네 개의 복사본의 직합으로 분해되며, 이는 $ R^n $ 위의 코드를 $ \mathbb{F}_q^n $ 으로의 투영을 통한 분석을 가능하게 한다.
• $ R $ 위에 정의된 링의 자명사상 $ \theta $ 는 $ \theta(b_0 + b_1 u + b_2 v + b_3 uv) = b_0^p + b_2^p u + b_1^p v + b_3^p uv $ 로 주어지며, 이는 기울임 다항식 링 $ R[x;\theta] $ 를 유도하고, 이는 기울임 순환 코드를 정의하는 기초가 된다.
• $ R $ 위의 기울임 순환 코드는 $ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 내의 주 아이디얼임이 보여지며, 각각의 $ g_i(x) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 위의 기울임 순환 코드의 상위 다항식인 유일한 다항식 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ 에 의해 생성된다.
• 길이 $ n $ 이 홀수인 $ R $ 위의 서로 다른 기울임 순환 코드의 수는 $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $ 로 계산되며, 여기서 $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ 는 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 내에서의 기약 다항식으로의 인수분해이다.
• $ R^n $ 에서 $ \mathbb{F}_q^{4n} $ 으로의 Gray 사상 $ \Phi: R^n \to \mathbb{F}_q^{4n} $ 이 사용되며, 이는 $ R $ 위의 코드를 $ \mathbb{F}_q $-선형 코드로 올리고, 거리와 Plotkin 합을 통해 특정 매개변수를 갖는 코드의 구축을 가능하게 한다.
• $ R $ 위의 기울임 순환 코드의 쌍대 코드 $ C^\perp $ 는 역시 기울임 순환이며, $ \sum_{i=1}^4 \eta_i \widetilde{h_i}(x) $ 에 의해 생성되며, 여기서 $ \widetilde{h_i}(x) $ 는 $ h_i(x) $ 의 역순 다항식의 기울임 수반 다항식이며, $ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기울임 순환 코드를 정규직교 아이디포텐트를 활용한 분해 정리로 $ R = \mathbb{F}_q + u\mathbb{F}_q + v\mathbb{F}_q + uv\mathbb{F}_q $ 위에서 어떻게 구조적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 길이 $ n $ 이 홀수인 $ R $ 위의 서로 다른 기울임 순환 코드의 정확한 수는 무엇이며, 이는 기울임 다항식 링 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 내에서 $ x^n - 1 $ 의 인수분해와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 Gray 사상은 $ R $ 위의 기울임 순환 코드를 어떻게 $ \mathbb{F}_q $-선형 코드로 변환하며, 그 결과로 얻어지는 이미지의 매개변수는 무엇인가?
• RQ4 $ R $ 위의 기울임 순환 코드가 언제 $ R $ 위의 순환 코드와 동치가 되는가? 이러한 동치관계는 코드 수세기 과정에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 길이 $ n $ 이 홀수인 $ R $ 위의 서로 다른 기울임 순환 코드의 수는 $ \prod_{i=1}^r (s_i + 1)^4 $ 이며, 여기서 $ x^n - 1 = \prod_{i=1}^r p_i^{s_i}(x) $ 는 $ \mathbb{F}_q[x;\theta] $ 내에서의 기약 다항식으로의 인수분해이며, $ p_i(x) $ 는 기약이고 $ s_i $ 는 그 차수이다.
• $ R $ 위의 모든 기울임 순환 코드는 $ R[x;\theta]/(x^n - 1) $ 내의 주 아이디얼이며, 각각의 $ g_i(x) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 위의 기울임 순환 코드의 상위 다항식인 유일한 다항식 $ g(x) = \sum_{i=1}^4 \eta_i g_i(x) $ 에 의해 생성된다.
• $ R $ 위의 기울임 순환 코드 $ C $ 의 쌍대 코드 $ C^\perp $ 는 역시 기울임 순환이며, $ \sum_{i=1}^4 \eta_i \widetilde{h_i}(x) $ 에 의해 생성되며, 여기서 $ \widetilde{h_i}(x) $ 는 $ h_i(x) $ 의 역순 다항식의 기울임 수반 다항식이며, $ |C^\perp| = q^{\sum_{i=1}^4 \deg(g_i(x))} $ 이다.
• Gray 사상 $ \Phi $ 는 $ (R^n, d_L) $ 에서 $ (\mathbb{F}_q^{4n}, d_H) $ 로의 $ \mathbb{F}_q $-선형等距사상이며, Lee 거리와 해밍 거리를 유지한다.
• $ R $ 위의 기울임 순환 코드 $ C = \eta_1 C_1 \oplus \eta_2 C_2 \oplus \eta_3 C_3 \oplus \eta_4 C_4 $ 의 Gray 이미지는 $ \Phi(C) = (C_1 \oplus_P C_2) \oplus_P (C_3 \oplus_P C_4) $ 로 주어지며, 여기서 $ \oplus_P $ 는 Plotkin 합을 의미한다.
• 길이 $ n $ 이 홀수일 경우, $ R $ 위의 모든 기울임 순환 코드는 $ R $ 위의 순환 코드와 동치이며, 이는 이 경우 기울임 구조가 새로운 코드를 생성하지 않음을 의미한다.