[논문 리뷰] Skew-Field of Trace-Preserving Endomorphisms, of Translation Group in Affine Plane

Orgest Zaka|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 24.

Mathematics and Applications참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 애핀 평면의 이동군의 추적을 보존하는 자기사상에서 비가환체를 구성한다. 특정 확대를 통해 역원을 구성할 수 있도록 해주는 핵심 보조정리를 증명함으로써, 추적을 보존하는 자기사상의 집합이 덧셈과 복합에 관해 비가환체를 이룬다는 것을 입증한다. 이는 애핀 기하학 내의 대수적 구조를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we will show how to constructed an Skew-Field with trace-preserving endomorphisms of the affine plane. Earlier in my paper, we doing a detailed description of endomorphisms algebra and trace-preserving endomorphisms algebra in an affine plane, and we have constructed an associative unitary ring for which trace-preserving endomorphisms. In this paper we formulate and prove an important Lemma, which enables us to construct a particular trace-preserving endomorphism, with the help of which we can construct the inverse trace-preserving endomorphisms of every trace-preserving endomorphism. At the end of this paper we have proven that the set of trace-preserving endomorphisms together with the actions of 'addition' and 'composition' (which is in the role of 'multiplication') forms a skew-field.

연구 동기 및 목표

• 애핀 평면의 이동군에 대한 추적을 보존하는 자기사상의 집합에 비가환체 구조를 수립하기 위해.
• 특정 확대를 구성하여 추적을 보존하는 자기사상에 대한 역원 문제를 해결하기 위해.
• 추적을 보존하는 자기사상의 대수적 구조가 덧셈과 복합에 관해 비가환체를 이룬다는 것을 증명하기 위해.
• 이동군 자기사상에 초점을 맞추어 애핀 평면과 비가환체 사이의 대수기하학적 대응을 확장하기 위해.

제안 방법

• 모든 비영인 추적을 보존하는 자기사상 α에 대해, 모든 이동 σ에 대해 α(σ) = δ ∘ σ ∘ δ⁻¹ 를 만족하는 확대 δ 가 존재함을 보여주는 핵심 보조정리를 증명한다.
• αδ(σ) = δ⁻¹ ∘ σ ∘ δ 라는 사상 정의를 통해, α의 양방향 역원을 구성한다.
• 추적을 보존하는 성질을 통해, 이동 궤적의 영상이 자기사상에 의해 보존됨을 보장한다.
• 이동군의 군 구조와 확대군 내에서의 이동군의 정상성(정상부분군 성질)을 활용하여 구성의 호환성을 확보한다.
• 복합에 관해 닫혀 있고, 비영인 자기사상들에 대해 양방향 역원이 존재함을 검증한다.
• 영원이 없는 비영원의 원소가 모두 양방향 역원을 가지며, 단위 원소가 존재하는 단위 결합환임을 증명함으로써, 이 대수가 비가환체임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애핀 평면의 이동군에 대한 모든 비영인 추적을 보존하는 자기사상은 동일한 대수적 구조 내에서 역원을 가질 수 있는가?
• RQ2 확대와 같은 기하학적 자료를 사용하여 역원 자기사상을 표준적인 방식으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 이동군에 대한 추적을 보존하는 자기사상의 집합은 덧셈과 복합에 관해 비가환체를 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 추적을 보존하는 성질은 자기사상의 구조를 어떻게 제약하며, 이를 통해 역원의 구성이 가능하게 하는가?

주요 결과

• 애핀 평면의 이동군에 대한 추적을 보존하는 자기사상의 집합은 덧셈과 복합에 관해 비가환체를 이룬다.
• 모든 비영인 추적을 보존하는 자기사상 α에 대해, 모든 이동 σ에 대해 α(σ) = δ ∘ σ ∘ δ⁻¹ 를 만족하는 확대 δ 가 존재한다.
• α의 역원은 αδ(σ) = δ⁻¹ ∘ σ ∘ δ 라는 사상으로 주어지며, 이는 또한 추적을 보존하고, α ∘ αδ = αδ ∘ α = 1TrA 를 만족한다.
• 두 비영인 자기사상의 복합은 영이 되지 않기 때문에, 이 대수는 영원이 없다.
• 항등원 1TrA 는 항등 자기사상이며, 영원소 0TrA 는 모든 이동을 항등로 매핑하는 자명한 자기사상이다.
• 이 구성은 각 비영인 자기사상에 대응하는 고정점이 있는 확대의 존재성에 의존하며, 이는 유일하게 역원을 결정한다.