[논문 리뷰] Skew Hadamard difference sets from cyclotomic strongly regular graphs

Koji Momihara|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 09.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 내 순환 강한 정규 그래프를 활용하여 초등 아벨 군에서 새로운 무한 가족의 비대칭 히덤라드 차이집합을 구성한다. 가우스 합과 순환류를 포함한 특성합 계산을 통해 특정 순환류의 합이 비대칭 히덤라드 차이집합을 형성할 조건을 도출하며, 이는 이전의 구성들을 일반화하고 자동화군 분석을 통해 펠레이 차이집합과의 비동치성을 입증한다.

ABSTRACT

We find new constructions of infinite families of skew Hadamard difference sets in elementary abelian groups under the assumption of the existence of cyclotomic strongly regular graphs. Our construction is based on choosing cyclotomic classes in finite fields.

연구 동기 및 목표

• 유한체 내 순환류를 이용하여 펠레이 구성 이외의 비대칭 히덤라드 차이집합을 확장하는 것.
• 순환 강한 정규 그래프의 존재성과 비대칭 히덤라드 차이집합 형성 간의 관계를 조사하는 것.
• 순환 강한 정규 그래프의 존재를 전제로 초등 아벨 군에서 새로운 무한 가족의 비대칭 히덤라드 차이집합을 제공하는 것.
• 순환류의 합이 비대칭 히덤라드 또는 펠레이 유형의 부분차이집합을 형성할 조건을 규명하는 것.
• 구성된 차이집합이 고전적 펠레이 차이집합과 동치가 아니라는 계산적 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 유한체 $ \bbF_q $ 내 순환류 $ C_i^{(k,q)} $ 를 사용하며, 여기서 $ q = p^f $ 이고 $ k \neq 1 $ 이 $ q-1 $ 을 나눈다.
• 지수 2 또는 4인 가우스 합을 포함한 특성합 기법을 적용하여 순환류의 합의 구조를 분석한다.
• 차이집합을 $ D = \bigcup_{i \text{ in } I} C_i^{(k,q)} $ 로 구성하며, 여기서 $ I $ 는 $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ 내의 $ \form{p} $ 의 잔여류들의 합집합이다.
• 강한 정규성과 차이집합 성질을 확보하기 위해 $ p^t \not\to -1 \bmod k $ 이지만 $ p $ 가 $ (\bbZ/k\bbZ)^* $ 내에서 지수 2 또는 4임을 조건으로 사용한다.
• 유도된 대칭 설계의 자동화군 크기를 활용하여 펠레이 차이집합과 비교하고 비동치성을 추론한다.
• 정리 3.4 를 적용하여 구조적 특성 $ (\bbZ/k\bbZ)^* / \form{p} $ 기반으로 산발적인 예제를 무한 가족으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 $ \bbF_q $ 내 순환류의 합이 비대칭 히덤라드 차이집합을 형성할 조건은 무엇인가?
• RQ2 순환 강한 정규 그래프의 존재성이 동일한 군 내 비대칭 히덤라드 차이집합의 존재를 암시할 수 있는가?
• RQ3 이 논문에서 구성된 새로운 비대칭 히덤라드 차이집합은 고전적 펠레이 차이집합과 동치가 아닌가?
• RQ4 가우스 합과 상대 가우스 합은 이러한 차이집합의 매개변수를 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 차이집합에서 유도된 대칭 설계의 자동화군이 펠레이 유형의 설계와의 비동치성을 탐지하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 순환 강한 정규 그래프의 존재를 전제로 초등 아벨 군에서 순환류의 합을 이용하여 비대칭 히덤라드 차이집합의 무한 가족을 구성한다.
• $ (p, f, p_1) = (3,5,11), (5,9,19), (17,33,67), (3,53,107), (41,81,163), (5,249,499) $ 인 경우, $ D = \bigcup_{i \notin \text{odd cosets}} C_i^{(2p_1, p^f)} $ 는 비대칭 히덤라드 차이집합을 형성한다.
• $ (p,f,p_1) = (7,3,19) $ 인 경우, 신규 차이집합 $ D $ 에서 유도된 설계의 자동화군 크기는 $ 3^4 \times 7^3 $ 이며, 펠레이의 경우 $ 3^3 \times 7^3 \times 19 $ 과 다름을 보여 비동치성을 입증한다.
• $ (p,f,p_1) = (3,5,11) $ 인 경우, $ \text{Aut}(Dev(D)) = 3^5 \times 5 \times 11 $ 이고, $ \text{Aut}(Dev(P)) = 3^5 \times 5 \times 11^2 $ 이므로 펠레이 차이집합과의 비동치성이 확인된다.
• 매개변수 $ (p_1, p, f) = (31,5,3) $ 와 $ (307,17,3) $ 인 펠레이 유형의 강한 정규 그래프는 고전적 펠레이 그래프와 이sovolumetric하지 않으며, 새로운 srg 가족임을 시사한다.
• 정리 3.4 를 통해 표 1의 산발적인 예제를 일반화하여 무한 가족을 도출하며, 특히 $ p_1 = A^2 + 4 $ 이고 $ A \not\to 0 \bmod 4 $ 인 경우, 세 가지의 새로운 무한 가족을 얻는다.