[논문 리뷰] Skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388 exist

Dragomir Ž. Djoković|ArXiv.org|2007. 04. 04.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 각각 순서 47과 97인 순환군에서 차분 가족을 사용하여, 알려진 바 없는 비대칭 해다드르 행렬의 순서 188과 388에 대한 첫 번째 구성법을 제시한다. 이러한 가족을 바탕으로 고테일스–세일드 배열을 적용함으로써 저자는 이러한 행렬의 존재를 증명하며, 비대칭 해다드르 행렬의 미해결 순서 목록에서 오랫동안 미해결이었던 사례들을 해결한다.

ABSTRACT

We construct several difference families on cyclic groups of orders 47 and 97, and use them to construct skew-Hadamard matrices of orders 188 and 388. Such difference families and matrices are constructed here for the first time. The matrices are constructed by using the Goethals-Seidel array.

연구 동기 및 목표

• 이전까지 알려지지 않았던 순서 188과 388에 대한 비대칭 해다드르 행렬의 존재를 해결하기 위해.
• 새로운 예제를 구성함으로써 비대칭 해다드르 행렬이 존재하는 순서 목록을 확장하기 위해.
• 순서 47과 97인 순환군에서의 차분 가족이 Goethals–Seidel 배열을 통해 비대칭 해다드르 행렬을 생성하는 데 사용될 수 있음을 보여주기 위해.
• 순서 4n에 대해 n=47과 n=97인 경우에 대해 비대칭 해다드르 행렬을 생성하는 보조 차분 집합의 명시적 구성법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자는 순환군 Z_47에서 네 가지의 서로 다른 차분 가족을 구성한다: 두 개의 3-(47;30,22,22;39) 가족과 두 개의 3-(47;21,19,19;24) 가족.
• Z_97에서는 순서 3인 부분군의 여부를 이용하여 두 개의 4-(97;48,39,48,51;89) 차분 가족을 구성한다.
• 각 차분 가족의 집합의 특성 벡터에서 순환행렬을 형성한다.
• Goethals–Seidel 배열을 순환행렬에 적용하며, 결과로 얻어진 행렬이 비대칭 해다드르 행렬이 되도록 비대칭 유형의 집합을 사용한다.
• 차분 가족 매개변수들이 보조 차분 집합 조건을 만족하는지 확인하기 위해 계산적 점검을 수행한다.
• 기본 집합 중 하나가 비대칭 유형(즉, 그 자체의 부정과 서로소임)임을 보장함으로써 비대칭 해다드르 성질을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 188인 비대칭 해다드르 행렬이 존재하는가? 만약 존재한다면, 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 Z_97에서의 차분 가족을 사용하여 순서 388인 비대칭 해다드르 행렬을 구성할 수 있는가?
• RQ3 Z_47와 Z_97에서 기존에 알려지지 않은 보조 차분 집합이 존재하는가? 그리고 이들은 이전에 알려지지 않은 비대칭 해다드르 행렬을 생성하는가?
• RQ4 새로 발견된 차분 가족을 Goethals–Seidel 배열과 효과적으로 결합하여 비대칭 해다드르 행렬을 생성할 수 있는가?
• RQ5 구성된 차분 가족이 이전에 알려진 것들과 비동치이며, 서로 다른 비대칭 해다드르 행렬을 유도하는가?

주요 결과

• 논문은 순서 188인 비대칭 해다드르 행렬에 대한 첫 번째 명시적 구성법을 제시한다.
• 논문은 순서 388인 비대칭 해다드르 행렬에 대한 첫 번째 명시적 구성법을 제시한다.
• Z_47에서 네 가지의 서로 다른 차분 가족이 구성된다: 두 개의 3-(47;30,22,22;39) 가족과 두 개의 3-(47;21,19,19;24) 가족.
• Z_97에서 여부의 합집합을 이용하여 두 가지의 서로 다른 4-(97;48,39,48,51;89) 차분 가족이 구성된다.
• Goethals–Seidel 배열과 하나의 기본 집합의 비대칭 유형 성질을 통해 순서 188과 388인 비대칭 해다드르 행렬이 확인된다.
• 구성된 결과로 인해 비대칭 해다드르 행렬의 미해결 순서 목록에서 n=47과 n=97가 제거되며, 300 미만의 홀수 정수 중 남은 미해결 순서는 총 42개로 줄어든다.