[논문 리뷰] Skew Hopf algebras, irreducible extensions and the pi-method

Lars Kadison|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 15.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 깊이 두 번째 확장 $A|B$ 와 관련된 이중 바이알제브로드의 비퇴화 쌍대성 쌍을 통해 항등사상을 구성함으로써, 중심자 $R = C_A(B)$ 가 $B$ 의 부분대수인 비가역적 깊이 두 번째 확장에서 새로운 종류의 호프 대수체인 기울어진 호프 대수를 도입한다. 주요 기여는 모듈에 대한 항등사상과 쌍대성 쌍을 일반화하기 위한 체계적인 방법—$\pi$-방법—을 제시하고, 왼쪽과 오른쪽 $\pi$-방법으로부터 생성된 코체인 복합체 사이의 동치를 갖는 사상이 존재함을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

To a depth two extension A | B, we associate the dual bialgebroids S := \End {}_BA_B and T := (A ø_B A)^B over the centralizer R=C_A(B). In the set-up where R is a subalgebra of B, which is quite common, two nondegenerate pairings of S and T will define an anti-automorphism τof the algebra S. Making use of a two-sided depth two structure, we prove that τis an antipode and S is a Hopf algebroid of a type we call skew Hopf algebra. A final section discusses how τand the nondegenerate pairings generalize to modules via the pi-method for depth two, and a certain derived mapping of cochain complexes is nullhomotopic.

연구 동기 및 목표

• 깊이 두 번째 확장에서 이중 바이알제브로드로부터 항등사상을 구성함으로써, 새로운 종류의 호프 대수체인 기울어진 호프 대수를 정의하는 것.
• 깊이 두 번째 확장에서 $\pi$-방법을 이용해 항등사상과 비퇴화 쌍대성 쌍을 대수에서 모듈로 일반화하는 것.
• 항등사상이 비퇴화 쌍대성 쌍의 차로 표현될 수 있는 조건을 규명하는 것—이 경우 $R \subseteq B$ 인 비가역적 확장에서의 상황을 고려한다.
• 양측 깊이 두 번째 조건이 프로베니우스 또는 히르체르-세바블레르 조건을 요구하지 않더라도 호프 대수체의 모든 공리를 만족하는 항등사상의 구성이 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• 중앙자 $R = C_A(B)$ 위에서 이중 바이알제브로드 $S = \mathrm{End}_B A_B$ 와 $T = (A \otimes_B A)^B$ 를 정의한다.
• S와 T 사이의 두 비퇴화 쌍대성 쌍을 이용해 S 위의 반자기동형사상 $\tau$ 를 정의한다.
• 양측 깊이 두 번째 조건을 이용해 $\tau$ 가 호프 대수체의 항등사상 공리를 만족함을 증명한다.
• $\pi$-방법을 적용하여 $\tau$ 와 쌍대성 쌍을 $A$-양측모듈의 코체인 복합체를 통해 일반화한다.
• 왼쪽과 오른쪽 $\pi$-방법으로 구성된 코체인 복합체 사이의 동치를 갖는 사상을 구성한다.
• 왼쪽과 오른쪽 D2 준기저 $\beta_i, t_i$ 와 $\gamma_j, u_j$ 를 사용하여 동형사상을 확립하고 바이알제브로드 공리를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로베니우스 또는 H-분리 조건을 가정하지 않고 깊이 두 번째 확장에서 유도된 바이알제브로드에 대해 항등사상을 체계적으로 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 두 비퇴화 쌍대성 쌍의 차가 항등사상으로 잘 정의되기 위한 조건은 무엇인가? 이는 $S = \mathrm{End}_B A_B$ 의 내부자기동형사상 바이알제브로드에서의 상황을 고려할 때 성립한다.
• RQ3 $\pi$-방법은 깊이 두 번째 확장에서 대수에서 모듈로 항등사상과 쌍대성 쌍을 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 양측 깊이 두 번째 조건은 $S$ 위에 기울어진 호프 대수의 구조를 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 두 비퇴화 쌍대성 쌍의 차로 정의된 반자기동형사상 $\tau$ 는 호프 대수체의 모든 공리를 만족하므로 $S$ 는 기울어진 호프 대수이다.
• $\tau$ 의 구성은 프로베니우스나 H-분리 조건이 아닌, 양측 깊이 두 번째 조건에 의해 결정된다.
• 비가역적 확장의 경우 $R \subseteq B$ 이면 $T$ 의 왼쪽과 오른쪽 $R$-쌍대가 일치하여 쌍대성 쌍의 구성이 가능하다.
• $\pi$-방법은 항등사상과 쌍대성 쌍을 모듈로 일반화하며, 왼쪽과 오른쪽 $\pi$-복합체 사이의 사상이 동치임을 보였다.
• $A$-양측모듈 $M$ 에 대해 $T \otimes_R M \cong A \otimes_B M$ 이 왼쪽 D2 준기저를 통해 확립되었으며, 이는 코체인 복합체의 동형을 뒷받침한다.
• $\delta^n s_n + s_{n+1} d^{n+2} = \Phi_{n+2}$ 라는 항등식은 $\pi$-방법 사상의 동치성을 확인하여 모듈로의 일반화가 타당함을 입증한다.