[논문 리뷰] Skew monoidales, skew warpings and quantum categories

Stephen Lack, Ross Street|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 30

한 줄 요약

이 논문은 모나드 이원분류에서의 비대칭 모나드를 일반화한 비대칭 모나드를 도입하며, 브레이드된 모나드 카테고리 𝒱 내의 양자 카테고리가 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드로 정확히 표현됨을 보여준다. 비대칭 모나드의 핵심 기여는 비대칭 결합 제약 조건이 가역인 경우 양자 군oids가 비대칭 모나드로 표현됨을 보여주며, 이는 이원분류와 양자 카테고리를 고차원 카테고리적 구조를 통해 통합한다.

ABSTRACT

Kornel Szlachányi recently used the term skew-monoidal category for a particular laxified version of monoidal category. He showed that bialgebroids $H$ with base ring $R$ could be characterized in terms of skew-monoidal structures on the category of one-sided $R$-modules for which the lax unit was $R$ itself. We define skew monoidales (or skew pseudo-monoids) in any monoidal bicategory $\mathscr M$. These are skew-monoidal categories when $\mathscr M$ is $\mathrm{Cat}$. Our main results are presented at the level of monoidal bicategories. However, a consequence is that quantum categories in the sense of Day-Street with base comonoid $C$ in a suitably complete braided monoidal category $\mathscr V$ are precisely skew monoidales in $\mathrm{Comod} (\mathscr V)$ with unit coming from the counit of $C$. Quantum groupoids are those skew monoidales with invertible associativity constraint. In fact, we provide some very general results connecting opmonoidal monads and skew monoidales. We use a lax version of the concept of warping defined recently by Booker-Street to modify monoidal structures.

연구 동기 및 목표

• 모나드 이원분류의 맥락에서 비대칭 모나드(비대칭 편모노이드)를 정의함으로써 비대칭 모나드 카테고리의 일반화를 시도한다.
• Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드를 통해 이원분류, 양자 카테고리, 양자 군oids 간의 카테고리적 프레임워크를 구축한다.
• 브레이드된 모나드 카테고리 𝒱 내의 양자 카테고리가 기저 쌍대모노이드의 쌍대단위에 의해 유도된 단위를 가진 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드임을 보인다.
• 비대칭 결합 제약 조건이 가역인 비대칭 모나드로서의 양자 군oids를 특성화한다.
• 모노이드 카테고리의 opmonoidal 모나드와 비대칭 모나드 간의 관계를, 모나드 구조의 림프 와핑을 통한 일반적 구성 방법을 통해 규명한다.

제안 방법

• 임의의 모나드 이원분류 𝒮 내에서 비대칭 모나드를 정의하며, 이는 𝒮 = Cat 인 경우 비대칭 모나드 카테고리의 일반화이다.
• 문헌 [3]의 워핑 구성의 림프판으로서 변형된 방식을 사용하여 모나드 구조를 수정함으로써 비대칭 모나드의 유도를 가능하게 한다.
• 좌측 비대칭 모나드 (C, M, ε*, α, λ, ρ)로부터 Comod(𝒱) 내에서 C^e 위의 쌍대모나드 A를 구성하며, 이는 coaction r에 기반한 r_∗ ⊣ r^∗ 의 수반관계에서 유도된다.
• μ: P → M 및 η: C → M를 통해 A의 모나드 구조를 정의하며, 여기서 P = M₂ ⊗_C M₂ 이고 μ는 α와 쌍대단위 ε의 복합이다.
• 좌측 융합 2차원 사상 v^ℓ을 통해, 이완과 이소모피즘을 이용한 스위칭을 통해 비대칭 모나드의 결합 제약 조건 α: M·(M⊗1_C) ⇒ M·(1_C⊗M)을 도출한다.
• 쌍대모듈 카테고리의 구조와 쌍대단위 ε를 이용하여 단위 제약 조건 λ: M₁ ⇒ 1_C 와 ρ: 1_C ⇒ M₂를 확립하며, 이는 비대칭 모나드 공리와의 일致성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 모나드 카테고리의 개념을 비대칭 모나드를 통해 어떻게 모나드 이원분류의 맥락으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 브레이드된 모나드 카테고리 𝒱에 대해 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드로서의 양자 카테고리의 정확한 카테고리적 특성은 무엇인가?
• RQ3 양자 군oids는 비대칭 결합 제약 조건이 가역인 비대칭 모나드와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 R-모듈의 카테고리에서 opmonoidal 모나드는 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드와 어떻게 대응되는가?
• RQ5 문헌 [3]의 림프 워핑 구성은 기존의 모나드 구조로부터 비대칭 모나드를 어떻게 유도하는가?

주요 결과

• 적절히 완비된 브레이드된 모나드 카테고리 𝒱 내의 양자 카테고리는 기저 쌍대모노이드 C의 쌍대단위에 의해 유도된 단위를 가진 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드로 정확히 표현된다.
• 양자 군oids(문헌 [6]의 의미에서)는 비대칭 결합 제약 조건 α가 가역인 Comod(𝒱) 내의 비대칭 모나드로 식별된다.
• 좌측 비대칭 모나드 (C, M, ε*, α, λ, ρ)로부터 Comod(𝒱) 내에서 C^e 위의 쌍대모나드 A가 유도되며, 이때 A = M 이다.
• A의 모나드 구조는 μ: P → M 와 η: C → M를 통해 정의되며, 여기서 P = M₂ ⊗_C M₂ 이고 μ는 α와 쌍대단위 ε의 복합이다.
• 비대칭 모나드의 결합 제약 조건 α는 좌측 융합 2차원 사상 v^ℓ을 통해 스위칭과 쌍대모듈 카테고리 내의 이소모피즘을 통해 도출된다.
• 단위 제약 조건 λ와 ρ는 Comod(𝒱) 내의 사상으로서 실현되며, λ: M₁ → 1_C 와 ρ: 1_C → M₂ 이며, M₁과 M₂는 ε*와 M을 포함하는 복합이다.