[논문 리뷰] Skew products and crossed products by coactions

S. Kaliszewski, John Quigg외 1명|ArXiv.org|1999. 01. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 16인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 변형 그래프 $E \times_c G$ 의 C*-대수와 $G$ 의 코작용에 의한 그래프 C*-대수 $C^*(E)$ 의 교차곱 사이의 이중성 동형사상 수립을 통해 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ 를 보여준다. 캉타야마의 이중성 정리와 Kumjian-Pask 정리의 새로운 초보자 수준의 증명을 이용하여, $C^*(E \times_c G)$ 에 대한 $G$ 의 자연스러운 작용이 약화 가능하다는 것을 증명하고, 이로 인해 안정적 동형사상 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ 가 성립함을 밝힌다. 결과는 약화 가능성 또는 제2가산성 조건 하에 $r$-이산 군oids로까지 확장된다.

ABSTRACT

Given a labeling c of the edges of a directed graph E by elements of a discrete group G, one can form a skew-product graph E cross_c G. We show, using the universal properties of the various constructions involved, that there is a coaction delta of G on C*(E) such that C*(E cross_c G) is isomorphic to the crossed product C*(E) cross_delta G. This isomorphism is equivariant for the dual action deltahat and a natural action gamma of G on C*(E cross_c G); following results of Kumjian and Pask, we show that C*(E cross_c G) cross_gamma G is isomorphic to C*(E cross_c G) cross_{gamma,r} G, which in turn is isomorphic to C*(E) tensor K(l^2(G)), and it turns out that the action gamma is always amenable. We also obtain corresponding results for r-discrete groupoids Q and continuous homomorphisms c: Q -> G, provided Q is amenable. Some of these hold under a more general technical condition which obtains whenever Q is amenable or second-countable.

연구 동기 및 목표

• 변형 그래프 $E \times_c G$ 의 C*-대수와 $G$ 의 코작용에 의한 $C^*(E)$ 의 교차곱 사이의 이중성 동형사상 수립.
• 군oids 모델을 피하고 그래프 C*-대수의 유일성 성질만을 사용하여 Kumjian-Pask 정리의 초보자 수준의 증명 제공.
• 약화 가능성 또는 제2가산성 조건 하에 $r$-이산 군oids $Q$ 와 연속적 준동형사상 $c: Q \to G$ 에 대해 이중성 및 약화 가능성 결과를 그래프에서 군oids로 확장.
• 약화 가능성 또는 제2가산성을 만족하는 $Q$ 에 대해 $C^*(c^{-1}(e))$ 가 $C^*(Q)$ 에 충실하게 통합되는지에 대한 기술적 질문 해결.
• C^*(E \times_c G)$ 에 대한 $G$ 의 자연스러운 작용 $\gamma$ 가 약화 가능하다는 것을 보여주며, 이는 전체 및 부분 교차곱이 일치함을 암시함.

제안 방법

• 모든 간선에 $G$ 의 원소로 표시된 레이블링 $c$ 를 이용하여, 그래프 C*-대수의 유일성 성질을 활용해 $G$ 에 대한 코작용 $\delta$ 를 $C^*(E)$ 에 정의.
• Katayama의 이중성 정리를 적용하여 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ 를 증명하고, 부분 교차곱을 통해 $C^*(E \times_c G) \times_{\hat{\delta}} G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ 를 유도.
• 군oids 모델을 피하고 유일성 성질에 기반한 새로운 초보자 수준의 Kumjian-Pask 정리 증명을 사용하여, $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ 의 정규 표현이 충실하다는 것을 보임.
• 모듈 $N = c^{-1}(e)$ 에 대해 $C_c(Q)$ 에 전치형 $C^*_c(N)$-모듈의 구조를 정의하고, 자기 연속 연산자들을 통해 $C^*$-반노름을 구성하여 교차곱을 실현함.
• 전체 및 부분 교차곱 이론을 이용하여, $C^*(E \times_c G)$ 에 대한 $G$ 의 작용 $\gamma$ 가 정규 표현이 충실함을 보임으로써 약화 가능함을 증명.
• 결과를 $r$-이산 군oids $Q$ 로 확장하기 위해, $C^*(Q \times_c G) \cong C^*(Q) \times_\delta G$ 를 코작용 $\delta$ 를 통해 증명하고, 약화 가능성 또는 제2가산성 조건 하에 $C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ 의 충실성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids 모델을 피하고 그래프 C*-대수의 유일성 성질만을 사용하여 $C^*(E \times_c G) \cong C^*(E) \times_\delta G$ 의 동형사상이 유도될 수 있는가?
• RQ2 C^*(E \times_c G)$ 에 대한 $G$ 의 자연스러운 작용 $\gamma$ 는 약화 가능한가? 그리고 이는 전체 및 부분 교차곱이 일치함을 의미하는가?
• RQ3 $r$-이산 군oids $Q$ 에 대해 약화 가능성 또는 제2가산성 조건 하에 $c^{-1}(e)$ 의 $C^*$-대수 $C^*(c^{-1}(e))$ 가 $C^*(Q)$ 에 충실하게 통합되는가?
• RQ4 코작용 이론과 Katayama의 이중성 정리를 사용하여 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ 의 이중성 동형사상이 복원될 수 있는가?
• RQ5 코작용과 이중성의 맥락에서, $C^*(E \times_c G) \times_{\gamma,r} G$ 의 부분 교차곱과 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G$ 의 전체 교차곱 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 변형 그래프 $E \times_c G$ 의 C*-대수와 $G$ 의 코작용에 의한 $C^*(E) \times_\delta G$ 는 유일성 성질을 통해 동형임을 보였으며, 이는 코작용 $\delta$ 를 통해 성립함.
• C^*(E \times_c G)$ 에 대한 $\gamma$ 의 작용과 $C^*(E) \times_\delta G$ 에 대한 쌍대 작용 $\hat{\delta}$ 는 동형이며, 이는 등변성의 성립을 보여줌.
• C^*(E \times_c G) \times_\gamma G 의 정규 표현이 충실하므로, 작용 $\gamma$ 가 약화 가능하다는 것을 증명함.
• 안정적 동형사상 $C^*(E \times_c G) \times_\gamma G \cong C^*(E) \otimes \mathcal{K}(\ell^2(G))$ 가 성립하며, 이는 이중성에 의해 Kumjian-Pask 결과를 복원함.
• $r$-이산 군oids $Q$ 와 연속적 준동형사상 $c: Q \to G$ 에 대해, $C^*(Q \times_c G) \cong C^*(Q) \times_\delta G$ 가 코작용 $\delta$ 를 통해 성립하며, 이는 그래프의 경우를 일반화함.
• 약화 가능성 또는 제2가산성 조건 하에 $C^*(c^{-1}(e)) \hookrightarrow C^*(Q)$ 의 통합이 충실함을 보였으며, 군oids 설정에서의 핵심 기술적 질문을 해결함.