[논문 리뷰] Skewness Premium with Lévy Processes

José Fajardo, Ernesto Mordecki|ArXiv.org|2008. 10. 24.

Insurance and Financial Risk Management인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대칭성이 필요하지 않은 일반 레비 과정으로 베티(1991)의 비대칭 프리미엄(SK)에 대한 x% 규칙을 확장하며, 위험 중립 측도 하에서 SK가 양이거나 음이 되는 데 필요한 레비 트리플렛 조건을 도출한다. SK > x일 때 β > -1/2이고, SK < x일 때 β < -1/2임을 규명하여, 레비 기반 모델을 사용한 자산 수익률의 비대칭성 모델링을 위한 진단 도구를 제공한다.

ABSTRACT

We study the skewness premium (SK) introduced by Bates (1991) in a general context using Lévy Processes. Under a symmetry condition Fajardo and Mordecki (2006) obtain that SK is given by the Bate's $x%$ rule. In this paper we study SK under the absence of that symmetry condition. More exactly, we derive sufficient conditions for SK to be positive, in terms of the characteristic triplet of the Lévy Process under the risk neutral measure.

연구 동기 및 목표

• 대칭 모델을 초월하여 일반 레비 과정으로 베티의 x% 규칙을 비대칭 프리미엄(SK)에 대해 일반화하는 것.
• 위험 중립 측도 하에서 레비 트리플렛 (a, σ², Π)에 대한 충분한 조건을 도출하여 SK가 양이거나 음이 되는 경우를 규명하는 것.
• Fajardo와 Mordecki(2006b)에서 이전에 요구되었던 대칭 조건이 없을 경우 비대칭 프리미엄의 부호를 분석하는 것.
• 옵션 가격에서 관찰된 비대칭성을 반영하는 레비 기반 모델을 선택하기 위한 진단 프레임워크를 제공하는 것.
• 레비 조건부에서 대칭성 파라미터 β에 따른 옵션 가격의 단조성에 대해 연구하는 것.

제안 방법

• 위험 중립 측도 하에서 레비 과정의 특성 트리플렛 (a, σ², Π)을 기술하기 위해 레비-킨친 표현식을 사용한다.
• Fajardo와 Mordecki(2006b)의 Put-Call 이중성 프레임워크를 적용하여 레비 동역학 하에서 콜과 풋 가격 간의 관계를 유도한다.
• 비대칭성을 모델링하기 위해 Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy (y ≠ 0) 형태의 파arametric 레비 조건부를 도입하며, β ∈ (-1, 1)로 설정한다.
• 볼록성 유지 성질과 등가 마팅게일 측도의 순서를 활용하여 대칭성 파라미터 β에 대한 단조성 추론을 수행한다.
• Gushin과 Mordecki(2002) 및 Bergenthüm(2007)의 결과를 적용하여 옵션 가격의 β에 대한 단조성에 대한 충분한 조건을 확립한다.
• 핵심 부등식을 도출: β > -1/2 ⇒ SK(x) > x, 그리고 β < -1/2 ⇒ SK(x) < x (x > 0)

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭성이 없을 경우 레비 트리플렛에 어떤 조건이 성립할 때 비대칭 프리미엄(SK)이 양이거나 음이 되는가?
• RQ2 특히 레비 조건부의 대칭성 파라미터 β와 관련하여 일반 레비 과정에서 비대칭 프리미엄은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 베티(1991)의 x% 규칙을 비대칭 레비 과정으로 확장할 수 있으며, 그 조건은 무엇인가?
• RQ4 옵션 가격의 대칭성 파라미터 β에 대한 단조성에 대한 레비 조건부의 충분한 조건은 무엇인가?
• RQ5 비대칭 프리미엄이 레비 기반 모델의 기본 분포의 비대칭성을 어느 정도 반영하는가?

주요 결과

• 레비 조건부가 Π(dy) = |y|^{β-1} e^{-λ|y|} dy 형태를 갖는 레비 과정에 대해, β > -1/2 이면 SK(x) > x이고, β < -1/2 이면 SK(x) < x임을 규명하였다.
• 비대칭 프리미엄 초과(SK(x) - x)의 부호는 오직 β가 -1/2와의 상대적 크기에 의해 결정되며, 명확한 진단 규칙을 제공한다.
• 결과는 비대칭 레비 과정의 광범위한 클래스로 베티의 x% 규칙을 확장하였으며, 비포isson적 점프를 포함한 모델에도 적용 가능하다.
• S&P500 옵션에 대한 실증적 증거는 대칭 x% 규칙이 성립하지 않음을 시사하며, 이는 비대칭 모델의 필요성을 부각시킨다.
• 옵션 가격의 대칭성 파라미터 β에 대한 단조성에 대한 충분한 조건이 유도되었으며, 이는 볼록성 유지 성질과 측도 순서에 기반한다.
• 결과는 특히 음성 또는 양성 비대칭성을 보이는 시장에서 관찰된 옵션 가격의 비대칭성을 반영하는 레비 모델 선택을 위한 이론적 기반을 제공한다.