[논문 리뷰] Skolemization for Weighted First-Order Model Counting

Guy Van den Broeck, Wannes Meert외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 19.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 38인용 수 70

한 줄 요약

이 논문은 존재 기호를 제거하면서 가중 모델 수를 유지하는 가중 일阶 논리 모델 카운팅(WFOMC)를 위한 새로운 스코렘화 절차를 제안한다. 이는 일阶 확률 모델에서 효율적인 리프팅 추론을 가능하게 하며, 이론을 함수 없는 스코렘 정규형으로 변환함으로써 도메인 리프팅 복잡도를 유지한다.

ABSTRACT

First-order model counting emerged recently as a novel reasoning task, at the core of efficient algorithms for probabilistic logics. We present a Skolemization algorithm for model counting problems that eliminates existential quantifiers from a first-order logic theory without changing its weighted model count. For certain subsets of first-order logic, lifted model counters were shown to run in time polynomial in the number of objects in the domain of discourse, where propositional model counters require exponential time. However, these guarantees apply only to Skolem normal form theories (i.e., no existential quantifiers) as the presence of existential quantifiers reduces lifted model counters to propositional ones. Since textbook Skolemization is not sound for model counting, these restrictions precluded efficient model counting for directed models, such as probabilistic logic programs, which rely on existential quantification. Our Skolemization procedure extends the applicability of first-order model counters to these representations. Moreover, it simplifies the design of lifted model counting algorithms.

연구 동기 및 목표

• 기존의 리프팅 추론 알고리즘이 존재 기호가 없는 스코렘 정규형을 요구하는 한계를 해결하기 위해, 이를 초월하는 실용적인 일阶 확률 모델을 포함할 수 있도록 한다.
• 기본 기호가 존재하는 이론, 예를 들어 확률적 논리 프로그램과 존재 기호를 포함한 마르코프 논리 네트워크에 대해 효율적이고 도메인 리프팅 가능한 가중 일阶 모델 카운팅을 가능하게 한다.
• 도메인 크기와 무관하게 작동하는 모듈러성 있는 일阶 스코렘화 절차를 제공하여 WFOMC의 타당성과 정확성을 보장한다.
• 존재 기호에 대한 특수 처리가 필요 없어지므로, 향후 WFOMC 알고리즘 설계를 단순화한다.
• 스코렘 정규형을 초월하는 더 넓은 범위의 일阶 이론에 대해 리프팅 가능성 정리의 적용 범위를 확장한다.

제안 방법

• 존재 기호를 스코렘 술어로 대체하고 Tseitin 스타일 인코딩을 사용하여 가중 모델 수에서의 논리적 동치성을 유지하는 일阶 스코렘화 알고리즘을 제안한다.
• 존재 기호를 포함한 공식을 함수 없는 스코렘 정규형 이론으로 변환하는 변환을 도입하며, 이 과정에서 가중 모델 수를 유지한다.
• 모듈러한 접근 방식을 사용하여, 입력 및 출력 이론에 새로운 문장을 추가하더라도 동치성이 유지된다.
• 내부에 있는 기호를 재귀적으로 처리함으로써 기호 제거를 수행하며, 이를 스코렘 술어와 보조 절로 대체한다.
• 입력 크기의 다항식 범위 내에서 새로운 공식의 수와 크기를 제한함으로써 다항 시간 복잡도를 확보한다.
• 모델의 총 가중치 합이 변하지 않도록 가중치 매핑을 정의하며, 특히 스코렘 술어에 대해 상반된 가중치를 설정하여 균형을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 존재 기호를 제거하는 방식으로 가중 모델 수를 유지하면서 리프팅 추론이 가능한가?
• RQ2 함수를 도입하지 않고 도메인 리프팅 복잡도를 유지하는 WFOMC를 위한 스코렘화 절차를 설계할 수 있는가?
• RQ3 이론에 새로운 문장을 추가할 때 변환 과정이 모듈러하고 타당한가?
• RQ4 이 방법을 통해 기존의 리프팅 가능성 정리의 적용 범위를 스코렘 정규형을 초월하여 확장할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 존재 기호를 포함한 확률적 논리 프로그램과 마르코프 논리 네트워크에서 효율적 추론을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 스코렘화 절차는 원래 이론의 가중 일阶 모델 수가 변환된 스코렘 정규형 이론에서도 그대로 유지됨을 보장한다.
• 변환 과정은 모듈러하다: 입력 및 출력 이론에 새로운 문장을 추가하더라도 그들의 가중 모델 수가 동치임이 유지된다.
• 알고리즘은 입력 크기의 다항식 범위 내에서 실행되며, 생성되는 새로운 공식의 수와 크기 또한 다항식으로 제한된다.
• 이 방법은 기존에 프로포지셔널 추론으로 축소되었던 존재 기호를 포함한 확률적 논리 프로그램과 마르코프 논리 네트워크에 대해 리프팅 추론의 첫 적용을 가능하게 한다.
• 존재 기호에 대한 특수 추론 규칙이 필요 없어지므로, 향후 WFOMC 알고리즘 설계가 단순화된다.
• 이 절차는 스코렘 정규형이 아닌 이론에도 리프팅 가능성 정리를 적용할 수 있도록 하며, 효율성을 잃지 않고 동치의 스코렘 정규형으로 변환함으로써 적용 범위를 넓힌다.