[논문 리뷰] Sloshing in vertical cylinders with circular walls: the effect of radial baffles

Nikolay Kuznetsov, Oleg V. Motygin|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 18.

Fluid Dynamics Simulations and Interactions참고 문헌 16인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 원통형 벽을 가진 수직 실린더 탱크에서 축 대칭성을 깨뜨리는 반경 방향 빔이 슬로싱을 어떻게 억제하는지 분석한다. 이로 인해 고유값이 단순해지고 최저 고유주파수가 크게 감소한다. 변수 분리와 베셀 함수를 사용하여, 빔이 기본 슬로싱 모드를 낮추고 표면 높이 극치를 빔 부착 지점에 국소화함을 보여주며, 고유값은 단순해지고 대칭적이지 않은 용기와 비교해 최저 모드의 주파수가 크게 감소한다.

ABSTRACT

The behaviour of sloshing eigenvalues and eigenfunctions is studied for vertical cylindrical containers that have circular walls and constant (possibly infinite) depth. The effect of breaking the axial symmetry due to the presence of radial baffles is analysed. It occurs that the lowest eigenvalues are substantially smaller for containers with baffles going throughout the depth; moreover, all eigenvalues are simple in this case. On the other hand, the lowest eigenvalue has multiplicity two in the absence of baffle. It is shown how these properties affect the location of maxima and minima of the free surface elevation and the location of its nodes.

연구 동기 및 목표

• 수평면이 원형인 수직 실린더 탱크에 반경 방향 빔이 있는 경우 축 대칭성의 파괴로 인해 슬로싱 고유값과 고유함수에 어떤 영향을 미치는지 조사하기.
• 대칭적(빔 없음)과 비대칭적(반경 빔 있음) 구조에서 고유값 및 고유함수 성질를 비교하기.
• 반경 빔이 최저 슬로싱 주파수를 억제하는 메커니즘을 규명하기 (주요 공학적 문제).
• 빔 배치와 대칭성 파괴와 관련하여 표면 높이 최대값, 최소값, 절점의 위치 분석하기.
• 고체 원형 실린더와 비교하여 고리형 실린더 용기로의 분석 확장하기.

제안 방법

• 3차원 영역에서 자유면 및 경계면 경계 조건을 갖는 라플라스 방정식에 대한 혼합 스테클로프 고유값 문제로 선형 슬로싱 문제를 수식화하였다.
• 원통좌표계(r, θ, z)에서 변수 분리를 적용하여 3차원 문제를 2차원 반경 및 각도 고유값 문제로 축소하였다.
• 고체 및 고리형 용기 모두에 대해 제1종 및 제2종 베셀 함수(J 및 Y)를 사용하여 고유함수를 구성하였다.
• 경계 조건으로 경계면에서 법선 속도가 0인 조건, 자유면에서 동적 조건(ϕ_z = νϕ), L2-직교성 조건(∫_F ϕ dxdy = 0)을 적용하였다.
• 특히 각도 의존성이 cos(mθ/2)인 반경 모드에 대해 베셀 함수의 곱의 근을 통해 고유값 ν를 구하였다.
• 고체 및 고리형 용기에서 빔이 있는 경우와 없는 경우를 비교 분석하여 고유값의 다중성, 크기, 고유함수의 공간 분포에 중점을 두었다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반경 빔의 도입이 수직 실린더 탱크의 슬로싱 고유값의 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 대칭적 용기와 비교했을 때 반경 빔이 최저 슬로싱 고유값(기본 주파수)에 미치는 정량적 영향은 무엇인가?
• RQ3 반경 빔의 존재가 표면 높이 극치 및 절점의 공간 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 대칭성 파괴가 기본 슬로싱 모드의 국소화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 고리형 용기에서 반경 빔이 있는 경우와 없는 경우의 고유값 및 고유함수는 고체 원형 실린더의 것과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 빔이 있는 원형 실린더에서 최저 고유값은 빔이 없는 경우보다 상당히 작으며, 이는 기본 슬로싱 주파수의 크게 감소함을 시사한다.
• 반경 빔이 존재할 경우 모든 고유값이 단순해지며(비퇴화), 대칭적인 경우 최저 고유값은 다중도 2를 가진다.
• 빔이 있는 경우의 기본 고유함수는 빔의 방향에 따라 y에 대해 짝함수 또는 홀함수이며, 이로 인해 표면 높이 극치가 외벽의 빔 부착 지점에 국소화된다.
• 반경 빔이 있는 고리형 용기에서 최저 고유값 ¯k◦_{1/2,1}은 빔이 없는 고리형 용기의 경우보다 상당히 감소하며, 내부 반경 ρ가 증가함에 따라 비율 ¯k◦_{1/2,1}/k◦_{1,1}이 약 1.0에서 약 0.5로 감소한다.
• 빔이 있는 용기의 고유함수는 복잡한 절점 패턴을 보이며, 높은 모드(예: s=2,3)의 경우 |R|의 극대가 빔의 끝부분 뿐 아니라 내부 점에서도 발생할 수 있다.
• 고리형 두께 ρ→1일 때, 최저 빔 고유값 ¯k◦_{p,1} → p로 수렴하며, 높은 모드(s≥2)는 무한대로 발산하여 얇은 고리형 근사에서 고립된 기본 모드로의 전이를 나타낸다.