[논문 리뷰] Slow and Ordinary Provability for Peano Arithmetic

Paula Henk, Fedor Pakhomov|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 04.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 페아노 산술(PA)에서의 느린 증명 가능성의 세 가지 변종을 조사하며, 일반적인 일관성보다 엄밀히 중간인 이론을 유도하는 새로운 일관성 문장들을 도입한다. 이들 변종을 바탕으로 한 튜링-페퍼만 진행법이 각각 ε₀, ω, 2 단계에서 PA + Con_PA에 도달하며, 일반 PA-증명 가능성과의 공동 증명 가능성 논리도 완전히 규명된다.

ABSTRACT

The notion of slow provability for Peano Arithmetic ($\mathsf{PA}$) was introduced by S.D. Friedman, M. Rathjen, and A. Weiermann. They studied the slow consistency statement $\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ that asserts that a contradiction is not slow provable in $\mathsf{PA}$. They showed that the logical strength of $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}$ lies strictly between that of $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}$ together with its ordinary consistency: $\mathsf{PA}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}_{\mathsf{s}}\subsetneq \mathsf{PA}+\mathrm{Con}$. This paper is a further investigation into slow provability and its interplay with ordinary provability in $\mathsf{PA}$. We study three variants of slow provability. The associated consistency statement of each of these yields a theory that lies strictly between $\mathsf{PA}$ and $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in terms of logical strength. We investigate Turing-Feferman progressions based on these variants of slow provability. We show that for our three notions, the Turing-Feferman progression reaches $\mathsf{PA}+\mathrm{Con}$ in a different numbers of steps, namely $\varepsilon_0$, $ω$, and $2$. For each of the three slow provability predicates, we also determine its joint provability logic with ordinary $\mathsf{PA}$-provability.

연구 동기 및 목표

• 페아노 산술(PA) 내에서 느린 증명 가능성과 일반 증명 가능성 간의 논리적 강도와 상호작용을 조사하는 것.
• 다양한 느린 증명 가능성 변종이 일관성 문장의 강도와 그 반복적 확장에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 느린 일관성 술어를 기반으로 한 튜링-페퍼만 진행법의 증명 이론적 행동을 규명하는 것.
• 각 변종에 대해 느린 증명 가능성과 일반 PA-증명 가능성의 공동 증명 가능성 논리를 특성화하는 것.
• 느린 일관성 반복의 수렴이 완전한 PA 일관성으로 향하는 데 있어 열려 있는 질문들을 해결하는 것.

제안 방법

• 빠르게 증가하는 계열의 재귀 함수, 특히 F_ε₀를 기반으로 하여 세 가지 서로 다른 느린 증명 가능성 술어를 정의한다.
• f가 비증명 가능하게 전체적인 함수일 때, PA↾f 이론 내에서 모순이 증명될 수 없다는 주장인 느린 일관성 문장 Con_f를 형식화한다.
• 증명 가능성 논리 프레임워크를 사용하여 느린 일관성 문장의 초한 반복을 도입하며, 힐베르트-베르너스-로브의 유도 조건을 만족시키도록 보장한다.
• 일반 PA-증명 가능성과 느린 증명 가능성 술어의 공동 증명 가능성 행동을 포착하기 위해 모달 논리 GL2를 구성한다.
• 솔로바이 스타일의 산술적 실현을 적용하여, GL2가 느린 증명 가능성과 일반 증명 가능성 술어에 대해 산술적으로 완전하다는 것을 증명한다.
• 트리 구조의 GL-프레임과 접근 가능성 관계(≺ 및 ≺₂)를 사용하여 공동 증명 가능성 논리의 모달 구조를 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ε₀ 이하의 순서수 α ∈ (ω, ε₀)에 대해, PA가 S_n에 대한 α번째 느린 증명 가능성 반복이 일반 PA-증명 가능성과 동치임을 증명할 수 있는 수열 S_n이 존재하는가?
• RQ2 일관성 문장이 아닌 고차 반복(예: □_f^n)에 대해 느린 증명 가능성의 반복을 고려할 경우, 주요 정리의 유사성이 성립하는가?
• RQ3 GL2의 공동 증명 가능성 논리는 선형적으로 순서가 매겨진 다중모달성을 가진 다중모달 논리로 일반화될 수 있으며, 산술적 완전성은 이러한 시스템으로까지 확장되는가?
• RQ4 정리 16의 조건을 만족하는 임의의 두 증명 가능성 술어 쌍에 대해, 항상 기본적인 잘서열과 순서수 α를 찾아, 한 술어가 다른 술어의 α번째 반복임을 보장할 수 있는가?
• RQ5 어떤 자연수 n > 2에 대해, 모든 φ에 대해 PA가 □_f^n φ ↔ □φ를 증명할 수 있는 재귀 함수 f가 존재하는가?

주요 결과

• F_ε₀를 기반으로 한 느린 일관성 문장의 ε₀번째 반복은 일반 PA 일관성과 동치이며, [9, Remark 4.4]에서 제기된 질문을 해결한다.
• PA↾f의 수정된 정의를 통해, ω번째 반복이 이미 PA + Con_PA에 도달하는 느린 일관성 문장을 얻을 수 있다.
• 한 변종의 느린 일관성에 기반한 튜링-페퍼만 진행법은 ε₀ 단계에서 PA + Con_PA에 도달한다.
• 두 번째 변종에 기반한 진행법은 ω 단계에서 PA + Con_PA에 도달한다.
• 세 번째 변종에 기반한 진행법은 단지 2단계에서 PA + Con_PA에 도달한다.
• 일반 PA-증명 가능성과 각 느린 증명 가능성 변종의 공동 증명 가능성 논리는 GL2로 특성화되며, 트리 구조의 GL-프레임과 유도된 이중단계 접근 가능성 관계를 기반으로 한 타당하고 완전한 크립케 프레임 의미론을 갖는다.