[논문 리뷰] Slow-fast stochastic diffusion dynamics and quasi-stationary distributions for diploid populations

Camille Coron|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 13.

Evolution and Genetic Dynamics참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 성적 생식을 하는 이형성 집단의 장기적 행동을 느린-빠른 확률적 확산 모델을 사용하여 연구한다. 이는 영속성 조건 하에서 유전자 빈도 과정이 변화하는 집단 크기와 이형성 선택을 고려한 일반화된 와이트-파이저 확산으로 수렴함을 증명하고, 비멸망 조건 하에서 유일한 준정적 분포가 존재함을 확립하며, 중립성, 초우세성, 생태적 니치 특이성의 경우에 수치적으로 검증한다.

ABSTRACT

We are interested in the long-time behavior of a diploid population with sexual reproduction, characterized by its genotype composition at one bi-allelic locus. The population is modeled by a 3-dimensional birth-and-death process with competition, cooperation and Mendelian reproduction. This stochastic process is indexed by a scaling parameter $K$ that goes to infinity, following a large population assumption. When the birth and natural death parameters are of order $K$, the sequence of stochastic processes indexed by $K$ converges toward a slow-fast dynamics. We indeed prove the convergence toward 0 of a fast variable giving the deviation of the population from Hardy-Weinberg equilibrium, while the sequence of slow variables giving the respective numbers of occurrences of each allele converges toward a 2-dimensional diffusion process that reaches $(0,0)$ almost surely in finite time. We obtain that the population size and the proportion of a given allele converge toward a generalized Wright-Fisher diffusion with varying population size and diploid selection. Using a non trivial change of variables, we next study the absorption of this diffusion and its long time behavior conditioned on non-extinction. In particular we prove that this diffusion starting from any non-trivial state and conditioned on not hitting $(0,0)$ admits a unique quasi-stationary distribution. We finally give numerical approximations of this quasi-stationary behavior in three biologically relevant cases: neutrality, overdominance, and separate niches.

연구 동기 및 목표

• 성적 생식과 확률적 출생-사망 과정을 고려한 이형성 집단의 장기적 유전적 역학을 분석하기 위해.
• 집단 크기 K → ∞ 일 때 스케일링된 3차원 출생-사망 과정이 느린-빠른 확산 근사로 수렴함을 확립하기 위해.
• 비멸망 조건 하에서의 제한 확산 과정의 준정적 행동을 특성화하기 위해.
• 이형성 선택과 변화하는 집단 크기를 고려한 경우, 유전자 빈도 과정에 대해 준정적 분포의 존재성과 유일성을 입증하기 위해.
• 중립성, 초우세성, 별개의 생태적 니치와 같은 생물학적으로 관련된 상황에서 준정적 행동의 수치적 근사 제공하기 위해.

제안 방법

• 큰 집단 척도 매개변수 K를 갖는 3개의 유전자형(AA, Aa, aa)을 가진 이형성 집단을 3차원 출생-사망 과정으로 모델링한다.
• 하드-바이너 하이브리드 균형에서의 이탈을 측정하는 빠른 변수 Y^K를 도입하며, K → ∞ 일 때 이는 0으로 수렴한다.
• 집단 크기와 A 등위형 빈도를 나타내는 느린 변수 과정 (N^K_t, X^K_t)을 유도하며, 이는 법적으로 2차원 확산 과정 (N_t, X_t)으로 수렴한다.
• 느린 과정을 R² 상의 콜모고로프 확산으로 변환하기 위해 비자명한 변수변환 S = (f1(N,X), f2(N,X))를 적용한다.
• Cattiaux 등 (2009)의 결과를 활용하여, 멸망(0) 또는 고정(X=0 또는 X=1)으로의 흡수로부터의 비흡수 조건 하에서 S_t의 준정적 행동을 분석한다.
• 선택 및 인구학적 매개변수에 따라 제한 확산의 기대값과 분산 계수를 명시적으로 유도하며, 중립성의 경우 해석적 처리를 수행하고 비중립성의 경우 부록에서 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성적 생식을 하는 큰 이형성 집단에서의 유전자 빈도 과정은 변화하는 집단 크기와 이형성 선택을 고려한 일반화된 와이트-파이저 확산으로 수렴하는가?
• RQ2 비멸망 조건 하에서 제한 확산 과정은 고유한 준정적 분포를 갖는가?
• RQ3 완전한 경쟁 조건 하에서도 이형성의 우세성이 없더라도 두 등위형의 장기적 공존이 유지될 수 있는가?
• RQ4 준정적 분포는 중립성, 초우세성, 생태적 니치 특이성의 경우에 어떻게 행동하는가?
• RQ5 생물학적으로 관련된 매개변수 영역에서 준정적 분포에 대한 수치적 근사는 어떻게 도출될 수 있는가?

주요 결과

• 하드-바이너 하이브리드 균형에서의 이격을 측정하는 빠른 변수 Y^K_t는 K → ∞ 일 때 거의 확실하게 0으로 수렴한다.
• 느린 과정 (N^K_t, X^K_t)는 법적으로 2차원 확산 과정 (N_t, X_t)으로 수렴하며, 이는 이형성 선택과 변화하는 집단 크기를 고려한 일반화된 와이트-파이저 확산이다.
• 제한 확산 과정 (S_t)는 거의 확실하게 유한 시간 내에 집합 {X=0} ∪ {X=1} ∪ {N=0}으로 흡수되며, 이는 고정 또는 멸망을 의미한다.
• {N=0}으로의 흡수로부터 비흡수 조건 하에서 과정 (S_t)는 초기 상태 S_0에 관계없이 고유한 준정적 분포를 갖는다.
• 수치 결과는 완전한 경쟁 조건 하에서도 중립성, 초우세성, 니치 특이성의 경우 장기적으로 등위형 공존가능함을 확인한다.
• 비중립성의 경우 준정적 분포는 비자명하고 안정적이며, 중립성의 경우 명시적인 해석적 표현식이 유도되었고, 비중립성의 경우 부록 A에서 다뤄졌다.