[논문 리뷰] Slow invariant manifold of heartbeat model

Jean‐Marc Ginoux, Bruno Rossetto|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 21.

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순화된 상전이 모델의 4차원 비강제 및 강제 심장박동 모델의 느린 불변 만곡면을 분석적으로 계산하기 위해 유동 곡률 방법을 도입한다. 이 방법은 단위 공간에서 궤적 곡선의 곡률이 0이 되는 조건을 활용한다. 이 방법은 모든 변수를 연결하는 닫힌 형태의 '상태 방정식'을 도출하여 심장 동역학 예측 및 제어에 응용 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

A new approach called Flow Curvature Method has been recently developed in a book entitled Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. It consists in considering the trajectory curve, integral of any n-dimensional dynamical system as a curve in Euclidean n-space that enables to analytically compute the curvature of the trajectory - or the flow. Hence, it has been stated on the one hand that the location of the points where the curvature of the flow vanishes defines a manifold called flow curvature manifold and on the other hand that such a manifold associated with any n-dimensional dynamical system directly provides its slow manifold analytical equation the invariance of which has been proved according to Darboux theory. The Flow Curvature Method has been already applied to many types of autonomous dynamical systems either singularly perturbed such as Van der Pol Model, FitzHugh-Nagumo Model, Chua's Model, ...) or non-singularly perturbed such as Pikovskii-Rabinovich-Trakhtengerts Model, Rikitake Model, Lorenz Model,... More- over, it has been also applied to non-autonomous dynamical systems such as the Forced Van der Pol Model. In this article it will be used for the first time to analytically compute the slow invariant manifold analytical equation of the four-dimensional Unforced and Forced Heartbeat Model. Its slow invariant manifold equation which can be considered as a "state equation" linking all variables could then be used in heart prediction and control according to the strong correspondence between the model and the physiological cardiovascular system behavior.

연구 동기 및 목표

• 새로운 기하학적 접근을 사용하여 4차원 비강제 심장박동 모델의 느린 불변 만곡면을 분석적으로 계산하는 것.
• 비자기계적 시스템인 6차원 강제 심장박동 모델로 이 방법을 확장하여, 변수 확장을 통해 비자기계적 시스템을 자가기계적 시스템으로 변환하는 것.
• 모든 시스템 변수를 연결하는 '상태 방정식' 역할을 하는 느린 만곡면 방정식을 수립하는 것.
• 다르쿠의 정리와 기하학적 불변 원리에 기반하여 계산된 만곡면의 불변성을 검증하는 것.
• 복잡한 생물역학적 시스템에 대한 이 방법의 적용 가능성을 입증하고, 심박수 예측 및 제어에의 잠재적 응용을 제시하는 것.

제안 방법

• 유동 곡률 방법은 동역학 시스템의 궤적 곡선을 유클리드 공간 내 n차원 곡선으로 간주하여 그 곡률을 분석적으로 계산한다.
• 이 방법은 궤적의 곡률이 0이 되는 점들의 집합, 즉 유동 곡률 만곡면을 정의하며, 이는 det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0로 표현된다.
• 다르쿠의 정리에 의해 이 만곡면이 불변임을 증명하여, 이가 느린 만곡면으로서의 관련성을 확보한다.
• 조각별 선형 함수(예: h(x))를 포함한 시스템의 경우, 각 영역(x < -0.5 및 x > 0.5)에 대해 별도의 다항식 방정식을 계산한다.
• 비자기계적 시스템(예: 강제 심장박동 모델)은 조화 진동자에 해당하는 두 차원을 추가하여 자가기계적 시스템으로 변환된다.
• 결과적으로 얻어진 고차원 시스템(6차원)은 동일한 곡률 기반 만곡면 탐지 기법을 적용하여 기하학적 및 역학적 일관성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흐름 곡률 방법을 사용하여 4차원 비강제 심장박동 모델의 느린 불변 만곡면을 분석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 이 방법은 강제 심장박동 모델과 같은 비자기계적 시스템으로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 심장박동 모델에서 모든 상태 변수를 연결하는 느린 만곡면 방정식의 분석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 계산된 느린 만곡면은 생리학적 심장 동역학과 부정맥 패tern과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 미분기하학과 다르쿠의 정리를 활용하여 계산된 만곡면의 불변성을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 비강제 심장박동 모델의 느린 불변 만곡면는 det(Ẋ, Ẍ, Ẍ̇, Ẍ̈̇) = 0로 분석적으로 유도되었으며, 이는 모든 변수를 연결하는 닫힌 형태의 '상태 방정식'을 제공한다.
• R = 0.018 Ω일 경우, 느린 만곡면 방정식이 계산되었고, 작은 시간 스케일 분리 파rameter의 영향으로 (x₁, x₂, x₃) 단위 공간에서 궤적을 잘 근사함을 보였다.
• 조화 진동자에 의해 코스인 강제항을 통합함으로써 이 방법은 6차원 강제 심장박동 모델로 성공적으로 확장되었으며, 자가기계성의 유지가 보장되었다.
• 유동 곡률 만곡면와 그 리에 도함수는 느린 만곡면 근처에서 융합됨을 보여주었으며, 이는 다르쿠의 정리를 통한 국소적 불변성의 확인을 의미한다.
• 느린 만곡면 방정식은 시스템의 주요 느린 동역학을 반영하므로, 심장 변수의 예측 및 제어에 잠재적 응용이 가능하다.
• 저자들이 향후 연구로 제안한 바와 같이, 이 방법은 HIV-1 모델과 같은 다른 생물역학적 시스템으로도 일반화 가능하다.