[논문 리뷰] Slow quenches in XXZ spin-chains -- the role of Galilean invariance breaking

Piotr Chudziński|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 04.

Quantum many-body systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 갭 없는 토모나가-라우팅거 액체 상에서 XXZ 스핀 체인의 천천히 냉각되는 과정을 조사하며, 시간에 따라 변하는 이방성 $J_z$로 인한 갈릴레오 대칭성 위반의 영향을 집중적으로 다룬다. 선형 램프와 맞춤형 프로토콜에 대한 정확한 해석적 해를 사용하여, 전파되는 프론트의 형상이 갈릴레오 대칭성 위반에 의해 가장 크게 변형됨을 보이며, 특히 완전하지 않은 감마 함수로 지배되는 중간 영역에서 늦어진 지수 함수 행동이 나타남을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We study a XXZ spin-chain in a gapless Tomonaga-Luttinger liquid (TLL) phase with time dependent anisotropy of spin exchange interactions. To begin we focus on a linear ramp of $J_z$, starting at XX point and slowly increasing towards the anti-ferromagnetic Heisenberg point. Although the problem of a linear ramp in the TLL has been recently under intense scrutiny in a perturbative \emph{g-ology} framework, an aspect that has been overlooked so far is the role of the Galilean invariance breaking. We find that, although the differential equation that needs to be solved to find time evolution of the system is substantially more complicated, in some cases exact analytic solutions can be given. We obtain them for the linear ramp in the limit of small $J_z$ as well as $J_z ightarrow 1$, and for such protocols that are tailored to keep the Galilean invariance breaking term constant for every $J_z$. We point out the features of dynamics during the quench that stays unaltered, and those that need to be taken with care when Galilean invariance breaking is present. We are able to deduce that it is the shape of the propagating front that is affected in the most pronounced way.

연구 동기 및 목표

• XXZ 스핀 체인의 갭 없는 토모나가-라우팅거 액체 상에서 갈릴레오 대칭성 위반이 느린 냉각 동역학에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 특히 작은 $J_z$ 및 $J_z \to 1$ 근처에서 선형 및 맞춤형 냉각 프로토콜 하에서 시간에 따라 변하는 TLL 매개변수에 대한 정확한 해석적 해를 유도하는 것.
• 갈릴레오 대칭성이 위반될 경우 어떤 동역학적 특성이 강인하고, 어떤 특성은 주의 깊게 다뤄야 하는지 규명하는 것.
• 특히 반자성 허이젠베르크 점 근처에서 페르투르바티브 g-올로지와 수치 결과 사이의 괴리 원인을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 속도 $u(t)$와 라우팅거 매개변수 $K(t)$를 포함한 시간에 따라 변하는 토모나가-라우팅거 액체 해밀토니안을 수립한다.
• 비단조화적이고 갈릴레오 대칭성 위반 항을 포함한 상관 함수의 시간 진화를 기술하는 미분 방정식을 유도한다.
• 선형 램프와 갈릴레오 대칭성 위반 항을 일정하게 유지하는 프로토콜에 대해 베셀 함수와 시간에 따라 변하는 위상 인자들을 사용하여 시스템을 정확히 해석한다.
• 모멘텀 공간 적분을 통해 상관 함수 $\langle\theta(x,t)\theta(0,t)\rangle$ 를 평가하며, 이는 $|F(t)|^2$ 와 순서 $\pm1/3$ 의 베셀 함수를 포함한다.
• 적분에 대한 점근적 분석을 수행하여 단조적이고 진동하는 베셀 함수 영역을 분리하여 프론트 동역학을 분리해 낸다.
• 완전하지 않은 감마 함수 $\Gamma(1-a, z_0)$ 를 사용하여 프론트 형상의 해석적 기술을 수행하며, $z_0 = 2i q(vt - x)$ 이고, 중간 영역에서 늦어진 지수 함수 행동을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 갈릴레오 대칭성 위반이 XXZ 스핀 체인의 느린 냉각에서 전파되는 프론트의 형상에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 선형 및 맞춤형 냉각 프로토콜 하에서 시간에 따라 변하는 TLL 매개변수에 대해 정확한 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 왜 수치 시뮬레이션과 페르투르바티브 g-올로지 접근법 사이에 프론트 동역학에 대해 불일치가 발생하는가, 특히 큰 $J_z$ 에서는?
• RQ4 갈릴레오 대칭성이 위반될 경우 상관 함수의 프론트 영역의 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ5 베셀 함수의 지수에 따라 상관 함수의 행동에서 지수들이 어떻게 변화하는가, 그리고 이는 프론트 형태에 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 전파되는 프론트의 형상은 갈릴레오 대칭성 위반에 의해 가장 크게 변형되며, 빛의 원뿔 내에서 표준적인 거듭제곱 법칙 행동에서 벗어남을 보여준다.
• 작은 $J_z$ 와 $J_z \to 1$ 근처의 선형 램프에서, 베셀 함수와 시간에 따라 변하는 위상 인자들을 사용하여 시스템의 시간 진화에 대한 정확한 해석적 해를 도출하였다.
• 프론트 동역학은 완전하지 않은 감마 함수 $\Gamma(2/3, z_0)$ 에 의해 지배되며, 이는 중간 영역에서 늦어진 지수 함수 행동 $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^{1/3}]$ 를 유도한다.
• 일반적인 베셀 함수 지수에 대해, 프론트 형상은 $I_{\text{fro}}(x,t) \sim \exp[x^a]$ 를 따르며, 여기서 $a = 1 - 2\nu_3$ 이다. 이는 $\nu_3$ 가 감소할수록 늦어진 지수 함수 영역의 진폭이 증가함을 보여준다.
• 적분의 상한은 큰 $vt - x$ 에서 $\sim \log(x)$ 와 같은 로그 항을 기여하며, 이는 아디아바틱 거듭제곱 법칙 영역과 일치한다. 반면 하한은 작은 $vt - x$ 에서 지배적이며, 늦어진 지수 함수를 유도한다.
• 지수 $a = 1/2$ 의 경우, 프레넬 적분을 사용하여 재기록할 수 있으며, 이는 기존의 특수 함수 형태와의 일관성을 확인한다.