[논문 리뷰] Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations

János Pach, Deniz Sarıöz|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 29.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정한 작은 (2,s)-색칠 수 있는 그래프—구체적으로 10개 정점의 이분 그래프 (K*₅,₅), 70개 정점의 스플릿 그래프, 그리고 10개 정점의 (2,2)-색칠 수 있는 그래프—의 장애물 수가 1을 초과함을 입증하여, 이러한 그래프는 단일 장애물로 표현될 수 없음을 보여준다. 시야와 볼록껍데기의 기하학적 및 조합적 분석을 통해 저자들은 이러한 그래프에 대해 1-장애물 표현이 존재하지 않음을 증명하며, 이는 이전 결과를 정교화하고, 최소 비-1-장애물 그래프에 대한 추측을 해결한다.

ABSTRACT

An obstacle representation of a graph G is a set of points on the plane together with a set of polygonal obstacles that determine a visibility graph isomorphic to G. The obstacle number of G is the minimum number of obstacles over all obstacle representations of G. Alpert, Koch, and Laison gave a 12-vertex bipartite graph and proved that its obstacle number is two. We show that a 10-vertex induced subgraph of this graph has obstacle number two. Alpert et al. also constructed very large graphs with vertex set consisting of a clique and an independent set in order to show that obstacle number is an unbounded parameter. We specify a 70-vertex graph with vertex set consisting of a clique and an independent set, and prove that it has obstacle number greater than one. This is an ancillary document to our article in press. We conclude by showing that a 10-vertex graph with vertex set consisting of two cliques has obstacle number greater than one, improving on a result therein.

연구 동기 및 목표

• Alpert 등 (2013) 이 제기한 추측을 해결하는 것: 10개 정점의 이분 그래프 (K*₅,₅) 는 장애물 수가 1을 초과한다.
• 이전에 92,000개 이상의 정점을 가진 구성보다 훨씬 더 작은 70개 정점의 (2,1)-색칠 수 있는 그래프를 구성하여 장애물 수가 1을 초과함을 보이는 것.
• 10개 정점의 (2,2)-색칠 수 있는 그래프 역시 장애물 수가 1을 초과함을 보이며, 이는 이전에 알려진 결과를 정교화하는 것.

제안 방법

• 볼록껍데기와 볼록성 순서 기반의 기하학적 시야 분석을 사용하여 장애물 표현을 분석하였다.
• 비연결 간선에 대한 빨간 정점의 위치를 분류하기 위해 파란 정점 주변의 영역 (C_A) 을 정의하였다.
• 2개 원소의 [3] 부분집합에서 자신에게 사상하는 함수 f 에 대해 순열과 고정점 분석을 적용하여 1-장애물 가정 하에서 모순을 도출하였다.
• 파란 정점 집합 (B) 의 볼록 위치에 대한 경우 분석을 수행하여, B 가 볼록 위치에 있을 때와 아닐 때를 구분하였다.
• 복수의 장애물이 필요함을 보이기 위해 볼록 사각형 및 오각형 구성 기법을 사용하여, 가시성 경로가 교차할 경우를 다루었다.
• 외부 점들로부터의 볼록성 순서의 전이성 특성을 활용하여 장애물 배치에 대한 제약 조건을 유도하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 10개 정점의 이분 그래프 K*₅,₅ 는 1-장애물 표현을 가질 수 있는가? 만약 그렇지 않다면, 그 장애물 수는 얼마인가?
• RQ2 이전에 알려진 바보다 훨씬 더 작은 (2,1)-색칠 수 있는 그래프를 장애물 수가 1을 초과하도록 구성할 수 있는가?
• RQ3 장애물 수가 1을 초과하는 (2,2)-색칠 수 있는 그래프가 존재하는가? 그리고 그러한 그래프는 이전 연구에서의 20개 정점 예제보다 더 작을 수 있는가?

주요 결과

• 10개 정점의 이분 그래프 K*₅,₅ 는 장애물 수가 정확히 2임을 확인하여, 단일 장애물로 표현될 수 없음을 입증하였다.
• 장애물 수가 1을 초과하는 70개 정점의 (2,1)-색칠 수 있는 그래프를 구성하여, 이전에 92,000개 이상의 정점을 가진 구성보다 개선된 결과를 도출하였다.
• 장애물 수가 1을 초과하는 10개 정점의 (2,2)-색칠 수 있는 그래프를 입증하였으며, 이는 이전의 20개 정점 예제를 정교화한 것이다.
• 증명은 임의의 1-장애물 표현이 볼록껍데기 및 가시성 경로 분석을 통해 모순을 초래함을 보여줌으로써 기반을 두고 있다.
• 저자들은 빨간 정점들이 파란 정점 군집에 대해 가능한 모든 구성이 고갈됨을 통해, 10개 정점의 (2,2)-색칠 수 있는 그래프에 대해 1-장애물 표현이 존재하지 않음을 입증하였다.
• 이 결과는 Alpert 등 (2013) 이 제기한 추측—장애물 수가 1을 초과하는 이분 그래프의 최소 크기에 대해—를 해결한다.