[논문 리뷰] Small asymptotic translation lengths of pseudo-Anosov maps on the curve complex

Eiko Kin, Hyunshik Shin|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 첫 번째 베텨 수가 ≥ 2인 하이퍼볼릭 피브리드 3-다양체에서, 오일러 특성수가 무한히 증가하는 표면 위의 편의-아노소프 모노드로미의 수열이 존재하며, 이들의 곡선 복합체에서의 점근적 이동 길이가 정확히 $1/|\chi(R_n)|^2$의 비율로 감소함을 증명한다. 이 구성은 닫힌 표면에서의 Gadre–Tsai 결과를 재증명하고 일반화하며, 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군과 하이퍼엘리프틱 하드보디 군에 대해서도 동일한 점근적 스케일링을 확립한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a hyperbolic fibered 3-manifold with $b_1(M) \geq 2$ and let $S$ be a fiber with pseudo-Anosov monodromy $ψ$. We show that there exists a sequence $(R_n, ψ_n)$ of fibers and monodromies contained in the fibered cone of $(S,ψ)$ such that the asymptotic translation length of $ψ_n$ on the curve complex $\mathcal{C}(R_n)$ behaves asymptotically like $1/|χ(R_n)|^2$. As applications, we can reprove the previous result by Gadre--Tsai that the minimal asymptotic translation length of a closed surface of genus $g$ asymptotically behaves like $1/g^2$. We also show that this also holds for the cases of hyperelliptic mapping class group and hyperelliptic handlebody group.

연구 동기 및 목표

• 피브리드 3-다양체에서 $b_1(M) \geq 2$인 경우, 곡선 복합체에서 편의-아노소프 사상의 최소 점근적 이동 길이의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 3-다양체 위상기하학적 구성 방법을 통해 Gadre–Tsai의 결과인 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$를 재증명하고 확장하는 것.
• 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군과 하이퍼엘리프틱 하드보디 군에 대해서도 동일한 점근적 스케일링 $1/|\chi|^2$ 가 성립함을 보이는 것.
• 표면의 $\mathbb{Z}$-코버를 통한 업그레이드를 통해, $1/|\chi(R_n)|^2$ 비율로 이동 길이가 감소하는 명시적 편의-아노소프 매핑 클래스 수열을 구성하는 것.

제안 방법

• 피브리드 3-다양체 $M$의 피브리케이션 표면 $S$의 모노드로미 $\psi$를 고정된 원시 코hom로 클래스 $\xi_0$에 대응하는 $\mathbb{Z}$-코버 $\widetilde{S}$로 업그레이드한다.
• 데일 변환 $h$를 사용하여 표면 수열 $R_n = \widetilde{S}/\langle h^n \widetilde{\psi} \rangle$를 구성하고, $|\chi(R_n)| \asymp n$ 임을 보인다.
• 표면 $R_n$ 위의 모노드로미 $\psi_n$가 편의-아노소프임을 증명하고, 그 점근적 이동 길이가 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ 임을 보인다.
• Masur–Minsky와 Bestvina–Handel의 트레인 트랙 기법 및 네스팅 보조정리를 활용하여 이동 길이의 하한을 구한다.
• 곡선 $\alpha$를 구성함으로써 상한을 확립한다. 이때 어떤 $m \asymp |\chi(R_n)|^2$에 대해 $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$ 임을 보이고, 이는 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$ 를 유도한다.
• 브레이드를 업그레이드하고 5-브레이드의 매핑 토러스를 사용하여, 힐덴 군과 하드보디 군에 대한 구성에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-다양체 위상기하학적 기하 구성 방법을 통해 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ 의 점근적 스케일링을 재유도할 수 있는가?
• RQ2 매핑 클래스 군의 부분군, 예를 들어 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군과 하이퍼엘리프틱 하드보디 군에 대해서도 $1/g^2$ 스케일링이 성립하는가?
• RQ3 첫 번째 베텨 수 $b_1(M) \geq 2$인 피브리드 3-다양체에서 최소 점근적 이동 길이의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ4 피브리드 3-다양체에서 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ 를 만족하는 편의-아노소프 사상 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}$-코버의 구조와 $h^n \widetilde{\psi}$ 가 곡선 복합체에서 작용하는 방식이 이동 길이 감소에 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 하이퍼볼릭 피브리드 3-다양체 $M$ 에 대해 $b_1(M) \geq 2$ 이면, $|\chi(R_n)| \asymp n$ 과 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ 를 만족하는 표면 수열 $(R_n, \psi_n)$ 이 존재한다.
• 이 구성은 Gadre–Tsai의 결과인 $L_{\mathcal{C}}(\mathrm{Mod}(S_g)) \asymp 1/g^2$ 를 기하적 방법으로 재증명한다.
• 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군 $\mathcal{H}(S_g)$ 에 대해서도 동일한 점근적 스케일링 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \asymp 1/|\chi(R_n)|^2$ 가 성립하며, $g \geq 3$ 에 대해 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(S_g)) \leq 1/(g^2 - 2g - 1)$ 이다.
• 결과는 하이퍼엘리프틱 하드보디 군 $\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)$ 로까지 확장되며, 어떤 상수 $C > 0$ 에 대해 $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{H}(\mathbb{H}_g)) \leq C/g^2$ 이다.
• 상한은 곡선 $\alpha$ 를 구성함으로써 확립되며, 이때 $m \asymp |\chi(R_n)|^2$ 에 대해 $d_{\mathcal{C}}(\alpha, \psi_n^m(\alpha)) = 1$ 이고, 이는 $\ell_{\mathcal{C}}(\psi_n) \leq C / |\chi(R_n)|^2$ 를 유도한다.
• 이 구성은 5-브레이드를 $\mathbb{Z}$-코버로 업그레이드하고 $h^n \widetilde{\psi}$ 로 몫을 취함으로써 이루어지며, 구멍이 있는 표면과 원하는 점근적 행동을 만족하는 모노드로미를 얻는다.