[논문 리뷰] Small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation with Navier slip-with-friction boundary conditions

Jean‐Michel Coron, Frédéric Marbach외 1명|ArXiv.org|2016. 12. 23.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 49인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경계의 일부에만 제어가 적용될 때조차도, 2차원 및 3차원 나비에-스토크스 방정식의 나비에 슬립-마찰 경계 조건 하에서 소시간 전역 정확한 제어 가능성을 확립한다. 유동장이 $L^2_\text{γ}(\Omega)$ 내에 있을 경우, 점성 경계층이 제어되지 않은 부분에서 형성되더라도, 임의의 작은 시간 내에 정확히 0으로 이끌 수 있음을 증명한다. 이를 위해 타원 방정식의 제어 가능성과 점점 줄어드는 경계층 분석, 그리고 정교한 제어 설계를 융합하였다.

ABSTRACT

In this work, we investigate the small-time global exact controllability of the Navier-Stokes equation, both towards the null equilibrium state and towards weak trajectories. We consider a viscous incompressible fluid evolving within a smooth bounded domain, either in 2D or in 3D. The controls are only located on a small part of the boundary, intersecting all its connected components. On the remaining parts of the boundary, the fluid obeys a Navier slip-with-friction boundary condition. Even though viscous boundary layers appear near these uncontrolled boundaries, we prove that small-time global exact controllability holds. Our analysis relies on the controllability of the Euler equation combined with asymptotic boundary layer expansions. Choosing the boundary controls with care enables us to guarantee good dissipation properties for the residual boundary layers, which can then be exactly canceled using local techniques.

연구 동기 및 목표

• 2차원 및 3차원 영역에서 나비에 슬립-마찰 경계 조건 하에 나비에-스토크스 방정식의 소시간 전역 정확한 제어 가능성을 확립한다.
• 제어가 경계의 일부에만 적용될 때, 제어되지 않은 부분에서 점성 경계층이 형성되는 상황에서 유체를 제어하는 데 도전하는 문제를 다룬다.
• 경계층이 존재하더라도, 임의의 작은 시간 내에 정확히 0 상태로의 제어 가능성이 방해받지 않는다는 것을 보여준다.
• 일반적인 마찰 행렬 $M$에 대해 제어 가능성을 확장하며, 딜레르 경계 조건의 극한 경우를 포함한다.
• 오일러 방정식의 제어 가능성과 국소 제어 기법을 통한 경계층 상쇄를 기반으로 하는 구조적 전략을 제공한다.

제안 방법

• 나비에-스토크스 시스템의 1차 근사로 오일러 방정식의 제어 가능성을 활용한다.
• 비선형 경계 근처의 점성 효과를 모델링하기 위해 점점 줄어드는 경계층 전개를 사용한다. 이는 제어되지 않은 경계에서 나비에 슬립-마찰 조건이 적용되는 영역이다.
• 잔류 경계층에서 유리한 소산 성질을 확보하기 위해 제어 영역 $\Gamma$에서 경계 제어를 설계한다.
• 점점 줄어드는 전개를 통해 추정된 경계층 성분을 국소 제어 기법을 통해 정확히 상쇄한다.
• 주어진 경계 조건을 만족하는 나비에-스토크스 방정식을 만족하는 약한 제어 궤적 $u \in \mathcal{C}^0_w([0,T];L^2_\gamma(\Omega)) \cap L^2((0,T);H^1(\Omega))$를 구성한다.
• 정규화된 확장 연산자와 적분 공식을 통한 비산성 벡터장 재구성 문제를 해결하여, 발산이 0인 상태를 유지하는 외력 항을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제어가 경계의 일부에만 적용될 때, 나비에-스토크스 방정식이 임의의 작은 시간 내에 0으로 이끌릴 수 있는가?
• RQ2 제어되지 않은 부분에서 점성 경계층이 형성되면, 소시간 전역 정확한 제어 가능성이 방해받는가?
• RQ3 오일러 방정식의 제어 가능성은 나비에 슬립-마찰 조건 하에서 나비에-스토크스 시스템의 정확한 제어 가능성을 달성하는 기초로 사용될 수 있는가?
• RQ4 점점 줄어드는 전개 이후에 국소 제어 기법을 통해 잔류 경계층을 상쇄하는 것이 가능한가?
• RQ5 일반적인 마찰 행렬 $M$은 제어 가능성 전략에 어떤 영향을 미치며, 결과는 딜레르 극한($M \to \infty$)으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 2차원 및 3차원 나비에-스토크스 방정식은 나비에 슬립-마찰 경계 조건 하에서 소시간 전역 정확한 영 제어 가능성이 성립한다.
• 모든 $T > 0$ 및 모든 초기 자료 ${u_*} \in L^2_\gamma(\Omega)$에 대해, $u(0,\cdot) = {u_*}$ 이고 $u(T,\cdot) = 0$ 를 만족하는 약한 제어 궤적 $u$ 가 존재한다.
• 결과는 고정된 양의 점성 계수 $\nu > 0$ 에 대해 유지되며, $\nu$ 에 따라 변하는 마찰 행렬 $M_\nu$ 에 대해서도 성립하며, 딜레르 극한의 경우까지 확장된다.
• 이 구성은 오일러 방정식의 제어 가능성과, 정교하게 설계된 경계 제어를 통한 점성 경계층의 제어 및 상쇄 능력에 기반한다.
• 이 방법은 경계층 역학이 소산적이며, 제어되지 않은 부분에서 형성된 경계층조차도 국소 기법을 통해 정확히 상쇄시킬 수 있음을 보장한다.
• 증명 과정은 $L^2_\gamma(\Omega)$ 에 값을 갖는 약한 위상에서 해를 구성하며, 유일성이나 강한 해가 필요 없이 그러한 궤적이 존재한다는 것이 입증된다.