[논문 리뷰] Small-time local controllability of the bilinear Schr\"odinger equation, despite a quadratic obstruction, thanks to a cubic term

Bournissou, Mégane|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 08.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 1차원 이변수 슈뢰딩거 방정식의 기본 상태 주변에서, 제곱항의 왜곡에 의해 선형화된 시스템이 비제어 가능할 수 있음에도 불구하고, 비선형 전개에서의 영이 아닌 삼차항을 활용하여 소규모 시간 국소 제어 가능성(STLC)을 확립한다. 증명은 무한차원에서의 새로운 접선 벡터 개념을 사용하며, 제어 변동을 통해 삼차항을 지배하고, 사영에서의 정확한 보정을 통해 잃어버린 방향에서의 오차를 극소화한다. 이는 약한 노름 추정과 브라우어 고정점 정리에 의해 보장된다.

ABSTRACT

We consider a 1D linear Schr{\"o}dinger equation, on a bounded interval, with Dirichlet boundary conditions and bilinear control. We study its controllability around the ground state when the linearized system is not controllable. More precisely, we study to what extent the nonlinear terms of the expansion can recover the directions lost at the first order.In previous works, for any positive integer $n$, assumptions have been formulated under which the quadratic term induces a drift in the nonlinear dynamics, quantified by the $H^{-n}$ norm of the control. This drift is an obstruction to the small-time local controllability (STLC) under a smallness assumption on the controls in regular spaces. In this paper, we prove that for controls small in less regular spaces, the cubic term can recover the controllability lost at the linear level, despite the quadratic drift. The proof is inspired by Sussman's method to prove the sufficiency of the $\mathcal{S}( heta)$ condition for STLC of ODEs. However, it uses a different global strategy relying on a new concept of tangent vector, better adapted to the infinite-dimensional setting of PDEs. Given a target, we first realize the expected motion along the lost direction by using control variations for which the cubic term dominates the quadratic one. Then, we correct the other components exactly, by using a STLC in projection result, with simultaneous estimates of weak norms of the control. These estimates ensure that the new error along the lost direction is negligible, and we conclude with the Brouwer fixed point theorem.

연구 동기 및 목표

• 선형화된 시스템이 제곱항의 왜곡으로 인해 비제어 가능할 때 1차원 이변수 슈뢰딩거 방정식의 제어 가능성 문제를 해결하는 것.
• 특히 영이 아닌 삼차항이 포함된 고차 비선형항이 선형 수준에서 상실된 제어 가능성을 복구할 수 있는지 조사하는 것.
• 약한 제어 노름 공간에서의 제어 가능성 상실 문제를 다루기 위해 정교화된 접선 벡터 개념을 기반으로 한 새로운 무한차원 전략을 개발하는 것.
• 더 이상 규칙성이 떨어지는 공간(예: H^{-k} 노름)에서 제어의 소규모 조건 하에 STLC를 확립하여 제곱항의 왜곡에 의한 장애를 극복하는 것.
• 삼차항의 지배성과 사영에서의 정확한 보정을 균형적으로 조절함으로써 목표 상태 전달을 달성하는 제어 함수를 구성하는 것.

제안 방법

• 무한차원 PDE에 특화된 새로운 접선 벡터 개념을 도입하여, 전통적인 ODE 방법보다 약한 제어 노름에 더 잘 적합한 것을 목표로 한다.
• 제어 변동을 통해 삼차항이 제곱항의 왜곡을 지배하도록 하여, 선형 차수에서의 손실된 방향으로의 운동을 가능하게 한다.
• 참고문헌 [15]에서의 사영에서의 STLC 결과를 활용하여, 손실된 방향 이외의 모든 성분을 정확히 보정하며, 同시에 제어의 약한 노름 추정을 수행한다.
• 약한 노름 추정(예: H^{-k} 노름)을 활용하여, 보정 이후 손실된 방향에서의 오차가 극히 미미하게 유지됨을 보장한다.
• 위의 방법들을 통해 브라우어 고정점 정리를 활용하여, 목표 상태 전달을 달성하는 제어의 존재성을 증명한다.
• 해석 함수와 은직함수정리에 기반한 변형 방법을 활용하여, 모든 필수 비퇴화 조건(Hquad, Hcub 등)을 만족하는 도플러 모멘트 µ를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형화된 시스템이 제곱항의 왜곡으로 인해 비제어 가능할 경우, 삼차 비선형성이 이변수 슈뢰딩거 방정식의 제어 가능성을 복구할 수 있는가?
• RQ2 제어가 약한, 규칙성이 떨어지는 공간(예: H^{-k} 노름)에서 소규모일 경우, 제곱항의 왜곡에도 불구하고 소규모 시간 국소 제어 가능성(STLC)을 달성할 수 있는가?
• RQ3 새로운 무한차원 접선 벡터 개념이 약한 제어 노름을 갖는 PDE 제어 시스템에서의 제어 가능성 상실 문제를 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 비선형 PDE 환경에서 제곱항의 왜곡을 삼차항이 동시에 지배하고, 다른 성분은 정확히 보정할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ5 도플러 모멘트 µ에 대한 어떤 조건이 삼차 계수 CK가 영이 아니며, 동시에 첫 번째와 두 번째 제곱항 계수 A1K와 A2K가 0이 되도록 보장하는가?

주요 결과

• 선형화된 시스템이 제곱항의 왜곡으로 인해 비제어 가능하더라도, s ≥ 0 인 H^s(0) 공간에서 시스템은 소규모 시간 국소 제어 가능성(E-STLC)을 갖는다.
• 이전의 STLC 결과에서 사용된 H^k 노름보다 규칙성이 낮은 H^{-k}(0,T) 노름에서 제어가 소규모일 경우, 제어 가능성은 회복된다(예: k=1).
• 삼차항 CK ≠ 0 가 충분히, A1K = A2K = 0 이고 A3K ≠ 0 인 제곱근 근사에서의 왜곡이 존재하더라도 선형 수준에서의 제어 가능성 상실을 복구할 수 있다.
• 구성적 변형 방법을 통해 H^11 ∩ H^4_0 에 속하는 도플러 모멘트 µ ∈ H^11 ∩ H^4_0 가 존재하며, 모든 필수 비퇴화 조건(Hreg, Hlin, Hquad, Hcub)을 만족함을 증명한다.
• 증명 과정에서 제어의 약한 노름 추정 덕분에, 보정 이후 손실된 방향에서의 오차가 극히 미미하게 유지됨을 보장하며, 이는 브라우어 고정점 정리의 적용을 가능하게 한다.
• 논문은 먼저 삼차항의 지배성을 통해 손실된 방향으로의 운동을 생성하고, 이후 사영에서의 STLC를 활용하여 나머지 성분을 정확히 보정함으로써 목표 상태 전달을 달성하는 제어 함수를 구성한다.