[논문 리뷰] Smallest defining sets of super-simple 2 - (v, 4,1) directed designs

Nasrin Soltankhah, Farzane Amirzade|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 29.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초초순수 2-(v,4,1) 방향 설계가 존재하는 것은 v ≡ 1 (mod 3)일 때이며, v=7를 제외한 경우에 한하여 성립함을 증명한다. 이와 함께, 모든 이러한 v > 7에 대해, 최소 정의 집합이 블록의 절반 이상을 포함하는 초초순수 2-(v,4,1)DD가 존재함을 보이며, 모든 ε > 0 및 충분히 큰 v에 대해, 이러한 설계는 최소 정의 집합이 (5/8 − c/v)|ℬ|개의 블록을 포함하는 경우가 존재한다. 여기서 적절한 상수 c에 대해 성립한다.

ABSTRACT

A $2-(v,k,λ)$ directed design (or simply a $2-(v,k,λ)DD$) is super-simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is super-simple, that is, any two blocks of the $BIBD$ intersect in at most two points. A $2-(v,k,λ)DD$ is simple if its underlying $2-(v,k,2λ)BIBD$ is simple, that is, it has no repeated blocks. A set of blocks which is a subset of a unique $2-(v,k,λ)DD$ is said to be a defining set of the directed design. A smallest defining set, is a defining set which has smallest cardinality. In this paper simultaneously we show that the necessary and sufficient condition for the existence of a super-simple $2-(v,4,1)DD$ is $v\equiv1\ ({ m mod}\ 3)$ and for these values except $v=7$, there exists a super-simple $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least a half of the blocks. And also for all $ε> 0$ there exists $v_0(ε)$ such that for all admissible $v>v_0$ there exists a $2-(v,4,1)DD$ whose smallest defining sets have at least $(5/8-\frac{c}{v})\mid \mathcal{B}\mid$ blocks, for suitable positive constant c.

연구 동기 및 목표

• 초초순수 2-(v,4,1) 방향 설계의 존재에 필요한 필요충분조건을 규명하는 것.
• 이러한 설계에서 최소 정의 집합의 크기에 대한 하한을 설정하는 것.
• 모든 허용 가능한 v ≡ 1 (mod 3), v > 7에 대해, 최소 정의 집합이 총 블록 수의 절반 이상을 포함하는 것을 보여주는 것.
• 모든 ε > 0 및 충분히 큰 허용 가능한 v에 대해, 최소 정의 집합 크기가 (5/8 − c/v)|ℬ| 이상인 2-(v,4,1)DD가 존재함을 증명하는 것.
• 군 가분 설계와 알려진 부분설계를 이용한 치환 레미와 함께 이러한 설계를 구성하는 것.

제안 방법

• 군 가분 설계(GDDs)의 블록과 군을 더 작은 방향 설계로 치환하는 치환 레미를 활용하여 초초순수 2-(v,4,1)DD를 구성하는 것.
• 정의 집합 조밀도가 높은 기본 구성 요소로 사용되는 유형 (2^4)의 4-DGDD를 구성하며, f ≥ 5/8를 만족한다.
• 재귀적 구성의 기초로 사용되는 유형 (6^k), (2^{3k+1}), (6^k 9^1), 및 (2^{3k} 5^1)의 4-GDDs를 활용하는 것.
• 크기가 6 또는 9인 군을 2-(13,4,1)DD로, 크기가 2인 군을 2-(4,4,1)DD로 치환하며, 각각 정의 집합 조밀도 f ≥ 1/2를 만족한다.
• 블록을 f ≥ 5/8인 유형 (2^4)의 4-DGDD로 치환하여, 정의 집합 크기에 대한 높은 하한을 확보하는 것.
• 최종적으로 도출된 정의 집합 조밀도의 渐近 분석을 통해, 큰 v에 대해 f ≥ 5/8 − c/v의 하한을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초초순수 2-(v,4,1) 방향 설계의 존재에 필요한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ2 어느 값의 v에 대해 초초순수 2-(v,4,1)DD가 최소 정의 집합 크기가 총 블록 수의 절반 이상인가?
• RQ3 모든 충분히 큰 허용 가능한 v에 대해 이러한 설계에서 최소 정의 집합 크기가 총 블록 수의 일정 비율 이상인가?
• RQ4 v가 증가함에 따라 2-(v,4,1)DD의 최소 정의 집합에 포함된 블록 비율에 대한 渐近 하한은 무엇인가?
• RQ5 GDD와 부분설계를 이용한 재귀적 구성은 어떻게 정의 집합 크기에 대한 높은 하한을 달성하는가?

주요 결과

• 초초순수 2-(v,4,1)DD의 존재에 필요한 필요충분조건은 v ≡ 1 (mod 3)이며, v = 7를 제외한다.
• 모든 v ≡ 1 (mod 3), v > 7에 대해, 최소 정의 집합이 총 블록 수의 절반 이상을 포함하는 초초순수 2-(v,4,1)DD가 존재한다.
• 모든 ε > 0 및 충분히 큰 허용 가능한 v에 대해, 최소 정의 집합 크기가 (5/8 − c/v)|ℬ| 이상인 2-(v,4,1)DD가 존재한다. 여기서 적절한 양의 상수 c에 대해 성립한다.
• 이 구성은 f ≥ 5/8인 유형 (2^4)의 4-DGDD를 기반으로 하며, 이는 최소한 5개의 블록이 정의 집합에 포함되어야 함을 의미한다.
• v ≡ 1 (mod 12), v ≥ 61일 경우, f ≥ 5/8 − 13/(8v)의 하한이 성립한다.
• v ≡ 4 (mod 12), v ≥ 64일 경우, f ≥ 5/8 − 1/(2v)의 하한이 성립하며, 유사한 하한은 v ≡ 7 및 10 (mod 12)인 경우에도 확립된다.