[논문 리뷰] Smallest singular value and limit eigenvalue distribution of a class of non-Hermitian random matrices with statistical application

Arup Bose, Walid Hachem|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 18.

Random Matrices and Applications참고 문헌 43인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 $X$의 i.i.d. 성분을 가진 비헤르미트 행렬 $XAX^* - z$ 의 최소 특이값에 대한 渐近적 경계를 수립한다. 여기서 $X$ 는 분산 $1/n$ 과 유한한 네 번째 모멘트를 가지며, $A$ 는 유계 특이값을 가진 결정론적 행렬이다. 블록 행렬 $H^{(n)}$ 을 통한 선형화를 통해, 최소 특이값이 높은 확률로 0에서 멀리 떨어져 있음을 증명함으로써, $XJX^*$ 의 극한 스펙트럼 분포를 도출할 수 있게 되었으며, 이는 다변량 시간열에 대한 화이트니스 검정에 응용된다. 이 결과는 한 단계 표본 자기공분산 행렬을 기반으로 한 다변량 시간열의 화이트니스 검정을 개발하는 데 활용된다.

ABSTRACT

Suppose $X$ is an $N \ imes n$ complex matrix whose entries are centered, independent, and identically distributed random variables with variance $1/n$ and whose fourth moment is of order ${\\mathcal O}(n^{-2})$. In the first part of the paper, we consider the non-Hermitian matrix $X A X^* - z$, where $A$ is a deterministic matrix whose smallest and largest singular values are bounded below and above respectively, and $z\ eq 0$ is a complex number. Asymptotic probability bounds for the smallest singular value of this model are obtained in the large dimensional regime where $N$ and $n$ diverge to infinity at the same rate. In the second part of the paper, we consider the special case where $A = J = [1_{i-j = 1\\mod n} ]$ is a circulant matrix. Using the result of the first part, it is shown that the limit eigenvalue distribution of $X J X^*$ exists in the large dimensional regime, and we determine this limit explicitly. A statistical application of this result devoted towards testing the presence of correlations within a multivariate time series is considered. Assuming that $X$ represents a ${\\mathbb C}^N$-valued time series which is observed over a time window of length $n$, the matrix $X J X^*$ represents the one-step sample autocovariance matrix of this time series. Guided by the result on the limit spectral measure of this matrix, a whiteness test against an MA correlation model on the time series is introduced. Numerical simulations show the excellent performance of this test.

연구 동기 및 목표

• 큰 차원에서 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ 인 경우, $X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ 의 최소 특이값에 대한 고확률 경계를 수립하는 것.
• 동일한 渐近적 영역에서 $J^{(n)}$ 이 순환 이동 행렬인 $X^{(n)}J^{(n)}{X^{(n)}}^{*}$ 의 극한 스펙트럼 분포를 분석하는 것.
• 한 단계 표본 자기공분산 행렬 $XJX^*$ 의 극한 스펙트럼 분포를 이용하여 다변량 시간열에서의 화이트니스를 검정하는 통계적 검정을 개발하는 것.
• 특히 $X$ 의 성분이 실수값이 아닐 경우(가정 3에 의해), 비i.i.d.이지만 구조적인 의존성이 있는 경우에도 이론적 프레임워크가 강건하게 유지되는지 보장하는 것.

제안 방법

• 행렬 $X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ 을 블록 행렬 $H^{(n)} = \begin{bmatrix} (A^{(n)})^{-1} & X^{(n)\top} \\ X^{(n)} & z \end{bmatrix}$ 을 사용하여 선형화함으로써, 문제를 $H^{(n)}$ 의 최소 특이값을 bound하는 것으로 환원한다.
• 행렬 역행렬 공식을 적용하여 $\|(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N)^{-1}\|$ 과 $\|H^{(n)}{-1}\|$ 를 연결함으로써 원래 행렬의 최소 특이값을 제어할 수 있도록 한다.
• 복소수 가우시안 농도 불등식과 Poincaré-Nash 부등식을 사용하여, 리졸베ント의 선형 스펙트럼 통계량의 분산을 bound함으로써, 흔적 유형 기능의 측도 집중을 보장한다.
• 스펙트럼 노름에 조건을 붙이기 위해, 높은 확률로 $\mathbb{E}[\|X\|] \leq C$ 를 확보한다.
• $\mathbb{P}[s_{N-1}(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - z) \leq t, \|X\| \leq C] \leq c(n^{\alpha}t^{1/2} + n^{-\beta})$ 를 유도함으로써, 최소 특이값이 너무 작아지지 않을 가능성이 높음을 보여준다. 여기서 $\alpha, \beta > 0$ 이고, $c$ 는 $C$, $z$, 그리고 네 번째 모멘트 경계 $\boldsymbol{m}_4$ 에만 의존한다.
• 극한 스펙트럼 분포 결과를 활용하여, $XJX^*$ 의 경험적 고유값 분포를 이론적 극한과 비교하는 검정 통계량을 정의함으로써, 다변량 시간열의 상관관계를 검정하는 데 응용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 X의 i.i.d. 성분이 분산 $1/n$ 과 유한한 네 번째 모멘트를 가지는 경우, $X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - zI_N$ 의 최소 특이값에 대한 渐近적 확률 경계는 무엇인가?
• RQ2 큰 차원 영역 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ 에서 $X^{(n)}J^{(n)}{X^{(n)}}^{*}$ 의 극한 스펙트럼 분포가 존재하는가? 존재한다면 그 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 XJX^*$ 의 극한 스펙트럼 분포를 이용하여 다변량 시간열의 순차적 상관관계를 탐지하는 통계적 검정을 구성할 수 있는가?
• RQ4 가정 3에 따라 $x_{00}^{(n)}$ 이 실수값이 아닐 경우, 최소 특이값과 그로 인한 스펙트럼 극한의 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 XJX^*$ 의 경험적 스펙트럼 분포가 그 극한 분포로 수렴하는 속도는 무엇이며, 이는 제안된 화이트니스 검정의 검정력에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 최소 특이값이 높은 확률로 0에서 멀리 떨어져 있음을 보여준다: $\mathbb{P}[s_{N-1}(X^{(n)}A^{(n)}{X^{(n)}}^{*} - z) \leq t, \|X\| \leq C] \leq c(n^{\alpha}t^{1/2} + n^{-\beta})$ ($\alpha, \beta > 0$), 여기서 $c$ 는 $C$, $z$, 그리고 네 번째 모멘트 경계 $\boldsymbol{m}_4$ 에만 의존한다.
• 극한 스펙트럼 분포가 존재하며, 큰 차원 영역 $N/n \to \gamma \in (0, \infty)$ 에서 명시적으로 기술된 결정론적 측도로 표현된다. 이 극한은 $J^{(n)}$ 의 순환적 구조에 의존한다.
• 다변량 시간열의 한 단계 표본 자기공분산 행렬을 나타내는 $XJX^*$ 의 경험적 고유값 분포는 화이트니스의 근본 가설 하에서 약한 수렴을 보인다.
• XJX^*$ 의 경험적 스펙트럼 분포를 이론적 극한과 비교하여 다변량 시간열에 대한 새로운 화이트니스 검정을 제안함. 수치 시뮬레이션은 이 검정의 높은 검정력과 강건성을 확인한다.
• 선형 스펙트럼 통계량인 $n^{-1}\operatorname{tr}Q_{00}$ 과 $x_k^*Q_{00}x_\ell$ 의 분산이 각각 $\mathcal{O}_\eta(n^{-2})$ 와 $\mathcal{O}_\eta(n^{-1})$ 임을 보여, 스펙트럼 통계량의 농도와 안정성을 확보한다.
• 선형화와 측도 집중 기반의 증명 기법은 $X$ 에서의 구조적 의존성에 대해 강건하며, i.i.d. 모델을 초월하여 적용 가능하다. 특히 비실수 성분을 가진 가정(가정 3)은 실수 i.i.d. 행렬로의 탈탈 풀림을 방지하여, 이론의 타당성을 유지한다.