[논문 리뷰] Smile Asymptotics II: Models with Known Moment Generating Function

Shalom Benaim, Peter K. Friz|ArXiv.org|2006. 08. 24.

advanced mathematical theories참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 타우버리안 정리들을 활용하여 금융 수익률 모델의 모멘트 생성 함수(MGF)에 대한 충분조건를 설정함으로써, 로그 스탑에 대한 블랙-쇼스 implied variance의 점점 수렴하는 기울기의 존재를 보장한다. 시간 변화된 Lévy 모델과 Heston 모델의 경우, 수익률의 꼬리 행동—특히 생존함수의 지수적 감소—는 임의의 변동성 미소의 점점 수렴하는 기울기를 유도하며, 이는 미소 점점 수렴 분석의 핵심 문제를 엄밀한 분석적 보장과 함께 해결한다.

ABSTRACT

In a recent article the authors obtained a formula which relates explicitly the tail of risk neutral returns with the wing behavior of the Black Scholes implied volatility smile. In situations where precise tail asymptotics are unknown but a moment generating function is available we first establish, under easy-to-check conditions, tail asymptoics on logarithmic scale as soft applications of standard Tauberian theorems. Such asymptotics are enough to make the tail-wing formula work and we so obtain a version of Lee's moment formula with the novel guarantee that there is indeed a limiting slope when plotting implied variance against log-strike. We apply these results to time-changed Levy models and the Heston model. In particular, the term-structure of the wings can be analytically understood.

연구 동기 및 목표

• 꼬리 분포가 알려져 있지 않은 경우에도, 임의의 변동성 미소가 날개에서 잘 정의된 한계 기울기를 보이도록 보장하는 엄밀한 조건를 제공하는 것.
• 모멘트 생성 함수(MGF)의 성질과 꼬리 점점 수렴 분석 간의 격차를 메우며, 임의의 변동성의 꼬리 공식이 적용 가능하도록 보장하는 것.
• Lee의 모멘트 공식을 lim sup에서 진정한 극한으로 대체함으로써, MGF의 도메인 경계 근처의 행동을 이용하여 이를 확장하는 것.
• 주요 모델들—Variance Gamma 모델에 대한 Gamma-OU 시간 변화, NIG에 대한 CIR 시간 변화, Heston 스토하스틱 볼래일리티 모델—에 대해 이러한 조건들을 명시적으로 검증하는 것.
• 이론적 결과의 실용적 관련성을 검증하기 위해, 수치적으로 점점 수렴 영역이 낮은 로그 스탑에서 어떻게 나타나는지 보여주는 것.

제안 방법

• MGF가 도메인 경계 근처에서 행동하는 것을 기반으로, 로그 척도에서 꼬리 점점 수렴 분석을 도출하기 위해 표준 타우버리안 정리를 적용한다.
• 꼬리 생존 확률이 지수적으로 감소함을 보장하기 위해 MGF의 해석적 구조에 대한 두 가지 기준(Criterion I 및 II)을 도입한다. 즉, $-\log \bar{F}(x) \sim r^* x$.
• 일반화된 역함수와 부드러운 변화 이론을 활용하여 MGF 및 그 역함수의 점점 수렴 행동을 분석함으로써 꼬리 감쇠의 규칙성을 확보한다.
• 꼬리-날개 공식을 적용하여, 임의의 변동성 기울기와 꼬리 감쇠 속도를 연결함으로써, MGF 성질을 임의의 변동성 기울기 예측으로 전환한다.
• 시간 변화된 과정의 총괄 생성 함수(CGF)를 활용하고, 그 해석적 계속성을 분석함으로써 NIG-CIR 및 VG-Gamma-OU 모델에 대한 기준을 검증한다.
• Heston 모델의 경우, 스토하스틱 볼래일리티 하에서 로그 수익률의 연합 MGF를 분석하고, 통합된 볼래일리티에 대한 CIR 과정과 비틀림이 있는 브라운 운동을 통해 기준을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모멘트 생성 함수(MGF)에 어떤 조건이 성립할 경우, 로그 스탑에 대한 임의의 변동성의 기울기가 잘 정의된 한계 기울기를 보이게 되는가?
• RQ2 MGF 정보만으로도 꼬리-날개 공식이 진정한 극한(단지 lim sup 가 아닌)을 보장할 수 있는가?
• RQ3 Variance Gamma 모델에 대한 Gamma-OU 시계와 NIG에 대한 CIR 시계를 갖는 시간 변화된 Lévy 모델들이 지수 꼬리 감쇠를 위한 필요한 MGF 조건을 충족하는가?
• RQ4 Heston 모델에서, 임의의 변동성 날개 기울기가 일정한 값으로 수렴하는가? 그리고 이는 MGF의 구조에서 분석적으로 유도될 수 있는가?
• RQ5 실제로 임의의 변동성 미소의 점점 수렴 영역은 어느 정도의 속도로 나타나며, 특히 낮은 로그 스탑에서 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• MGF가 알려져 있고 $p^* = r^* - 1 > 0$ 인 모델에서는, 임의의 변동성 기울기가 일정한 값으로 수렴한다: $\lim_{k\to\infty} V^2(k)/k = 2 - 4(\sqrt{(p^*)^2 + p^*} - p^*)$.
• 논문은 MGF가 도메인 경계 근처에서 약간의 조건을 만족할 경우, 꼬리-날개 공식이 진정한 극한(단지 lim sup 가 아닌)을 도출함을 증명한다. 특히 MGF가 기준 I 또는 II를 만족할 경우에 해당된다.
• Gamma-OU 시간 변화를 가진 Variance Gamma 모델의 경우, 꼬리 감쇠는 $p_L = \alpha - \beta$ 의 비율로 지수적으로 일어나며, 이는 임의의 변동성 미소의 잘 정의된 한계 기울기를 보장한다.
• NIG-CIR 모델의 경우, 꼬리 감쇠 속도는 $\min(p_L, p)$ 이며, 여기서 $p$ 는 $K_L(p) = p_T$ 를 만족하는 값이며, 조건이 충족되어 있어 한계 기울기가 존재한다.
• Heston 모델에서 조차도 상관계수 $\rho \neq 0$ 인 경우에도 MGF는 필요한 해석적 성질과 성장 조건(Criterion II)을 만족하여 $-\log \bar{F}(x) \sim -p x$ 를 만족하며, 임계 $p$ 는 초월 방정식에 의해 결정된다.
• 수치적 결과는 점점 수렴 기울기가 매우 낮은 로그 스탑(예: $k \approx 1$)에서 이미 나타나며, 이는 이론적 결과의 실용적 관련성을 확인한다.