[논문 리뷰] Smooth conjugacy of Anosov diffeomorphisms on higher dimensional tori

Andrey Gogolev|ArXiv.org|2008. 04. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고차원 토러스($d \geq 3$) 상의 아노소프 미분형사가 단순 실수 스펙트럼을 가지며 기저가 불가약한 하이퍼볼릭 자기동형사에 $C^1$-근접해 있고, 동일한 주기적 고유값 데이터를 공유하는 경우, 그들 간의 동형사의 $C^{1+\nu}$ 정칙성을 확립한다. 중간 분할에 대한 전이성 조건이 만족될 경우, 이러한 동형사들은 허들보다 더 매끄럽다는 것을 증명하며, 고차원 아노소프 시스템의 매끄러운 동형사 이론에서 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Let $L$ be a hyperbolic automorphism of $\mathbb T^d$, $d\ge3$. We study the smooth conjugacy problem in a small $C^1$-neighborhood $\mathcal U$ of $L$. The main result establishes $C^{1+ν}$ regularity of the conjugacy between two Anosov systems with the same periodic eigenvalue data. We assume that these systems are $C^1$-close to an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real spectrum and that they satisfy a natural transitivity assumption on certain intermediate foliations. We elaborate on the example of de la Llave of two Anosov systems on $\mathbb T^4$ with the same constant periodic eigenvalue data that are only Hölder conjugate. We show that these examples exhaust all possible ways to perturb $C^{1+ν}$ conjugacy class without changing periodic eigenvalue data. Also we generalize these examples to majority of reducible toral automorphisms as well as to certain product diffeomorphisms of $\mathbb T^4$ $C^1$-close to the original example.

연구 동기 및 목표

• 고차원 토러스 상의 아노소프 미분형사가 주기적 고유값 데이터를 공유할 때, 이들이 매끄러운 동형사를 갖는지 여부를 규명하는 것.
• 동일한 주기적 데이터를 가진 $C^1$-근접 아노소프 시스템이 $C^{1+\nu}$ 동형사를 갖는 조건을 규명하는 것.
• 분할의 전이성과 불변 구조가 허들 정규성 초월 매끄러운 동형사 가능성을 결정하는 데서 수행하는 역할를 이해하는 것.
• 선형 아노소프 자기동형사의 $C^1$-근접 영역 내에서 $C^{1+\nu}$ 동형사에 대한 모든 차단 요소를 분류하는 것.
• 데라 뤼브의 $\mathbb{T}^4$에 대한 반례를 일반화하여, 주기적 데이터는 유지하지만 매끄러운 동형사 성립을 방해하는 모든 가능한 $C^1$-편미분을 특성화하는 것.

제안 방법

• $d \geq 3$인 토러스 $\mathbb{T}^d$ 상의 단순 실수 스펙트럼과 양의 고유값을 가지며 기저가 불가약한 하이퍼볼릭 자기동형사 $L$의 $C^1$-근접 영역 $\mathcal{U}$를 분석한다.
• 고유값 $\mu_i < \cdots < 1 < \lambda_j$에 대응하는 일차원 분포 $F_i^f$ 및 $E_j^f$로의 불변 분할을 사용하며, 이는 유일하게 분할 $U_i^f$ 및 $V_j^f$로 통합된다.
• 중앙 리프 공간 $\mathcal{T}$ 상에서의 요소 역학 $\tilde{f}$ 를 사용한 전이점 논증을 적용하며, 이는 $\mathbb{T}^2$ 상의 선형 자기동형사 $B$ 와 동형사이다.
• 약한* 수렴을 통한 약한 측도 $\mu$를 구성한다: $\mu_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} (f^i)_*\eta_0$ 의 약한* 극한이며, $\eta_0$ 는 약한 불안정 리프 沿해 잭로비안 비율 $\rho(x_0, \cdot)$ 비례하는 밀도를 가진다.
• 표준 호프 논증 기법을 사용하여, 약한 불안정 분할 $W_f^{wu}$ 가 $\mu$ 에 대해 절대 연속임을 증명한다.
• 중간 분할의 플래그를 유지하는 동형사 $h$ 가 약한 불안정 방향에 대해 $C^{1+\nu}$-매끄럽다는 것을 보이기 위해, 플래그의 구조에 대한 귀납법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $d \geq 3$ 인 $\mathbb{T}^d$ 상의 두 $C^1$-근접 아노소프 미분형사가 동일한 주기적 고유값 데이터를 가질 때, 어떤 조건에서 $C^{1+\nu}$-매끄러운 동형사가 성립하는가?
• RQ2 데라 뤼브의 $\mathbb{T}^4$ 반례—두 아노소프 시스템이 동일한 주기적 데이터를 가지지만 허들 수준의 동형사에 불과함—은 다른 선형 자기동형사로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 중간 분할에 대한 역학의 전이성이 매끄러운 동형사 보장에 있어 수행하는 역할는 무엇인가?
• RQ4 선형 아노소프 자기동형사의 $C^1$-근접 영역 내에서 $C^1$ 동형사 등급을 지배하는 주기적 고유값 데이터 이외의 추가 불변량이 존재하는가?
• RQ5 선형 자기동형사의 $C^1$-근접 영역 내에서의 기약 가능하거나 곱형태의 아노소프 미분형사들이 동형사의 매끄러움에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 기저가 불가약한 하이퍼볼릭 자기동형사 $L$ 의 $C^1$-근접 영역 내에서 단순 실수 스펙트럼과 동일한 주기적 고유값 데이터를 가진 두 아노소프 미분형사 $f$ 및 $g$ 간의 동형사가 중간 분할에 대한 전이성 조건을 만족할 경우, 이 동형사는 $C^{1+\nu}$-매끄럽다.
• 논문은 데라 뤼브의 $\mathbb{T}^4$ 예시—주기적 데이터는 동일하지만 매끄러운 동형사가 성립하지 않는 두 아노소프 시스템—가 절대적으로 완전하다는 것을 보여주며, 주기적 데이터는 유지하지만 $C^{1+\nu}$ 동형사 성립을 방해하는 모든 편미분은 이 예시와 위상적으로 동치임을 규명한다.
• 절대 연속인 약한 불안정 분할을 가진 전이성 불변 측도 $\mu$ 의 구성은 호프 논증을 적용하여 동형사의 약한 불안정 방향에 대한 $C^{1+\nu}$-정규성을 증명하는 데 기여한다.
• 동형사는 중간 분할의 플래그 $V_m^f$ 를 유지하며, 이는 중간 분할의 전이점 논증과 중심 리프 공간 상의 요소 역학의 구조를 사용한 귀납적 방법으로 증명된다.
• 이 방법은 데라 뤼브의 예시를 기반으로 하여 기약 가능한 토러스 자기동형사의 넓은 범주와, 원래 반례에 근접한 특정 곱형태의 미분형사에 대해 일반화된다.
• 핵심 기술적 진전은 전이성 조건 하에서 중심 호놀로미가 매끄럽다는 것을 증명한 것으로, 이는 동형사의 $C^{1+\nu}$-정규성 증명에서 귀납 단계를 가능하게 한다.