[논문 리뷰] Smooth Converse Lyapunov-Barrier Theorems for Asymptotic Stability with Safety Constraints and Reach-Avoid-Stay Specifications

Yiming Meng, Yinan Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 09.

Formal Methods in Verification인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템에서 점점 줄어드는 안정성과 안전성 제약, 도달-피하기-유지 사양을 고려할 때 부드러운 역-리아푸노프-바리어 정리들을 수립한다. 안정성과 안전성을 동시에 인증하는 단일 부드러운 리아푸노프 함수의 존재를 증명하며, 유사하지만 약간 더 약한 결과를 제어 확장과 내성성 논증을 통해 도달-피하기-유지 성질에 대해 제시한다.

ABSTRACT

Stability and safety are two important aspects in safety-critical control of dynamical systems. It has been a well established fact in control theory that stability properties can be characterized by Lyapunov functions. Reachability properties can also be naturally captured by Lyapunov functions for finite-time stability. Motivated by safety-critical control applications, such as in autonomous systems and robotics, there has been a recent surge of interests in characterizing safety properties using barrier functions. Lyapunov and barrier functions conditions, however, are sometimes viewed as competing objectives. In this paper, we provide a unified theoretical treatment of Lyapunov and barrier functions in terms of converse theorems for stability properties with safety guarantees and reach-avoid-stay type specifications. We show that if a system (modeled as a dynamical system with measurable perturbations) possesses a stability with safety property, then there exists a smooth Lyapunov function to certify such a property. This Lyapunov function is shown to be defined on the entire set of initial conditions from which solutions satisfy this property. A similar but slightly weaker statement is made for reach-avoid-stay specifications. We show by a simple example that the latter statement cannot be strengthened without additional assumptions. We further extend the results for systems with control inputs and prove existence of converse Lyapunov-barrier functions for reach-and-avoid specifications. While the converse Lyapunov-barrier theorems are not constructive, as with classical converse Lyapunov theorems, we believe that the unified necessary and sufficient conditions with a single Lyapunov-barrier function are of theoretical interest and can hopefully shed some light on computational approaches.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동적 시스템에서 안정성과 안전성에 대한 리아푸노프 함수와 바리어 함수 접근법을 통합하기 위해.
• 단일 리아푸노프-바리어 함수를 사용하여 안전성 제약 조건이 있는 안정성 특성을 특징짓는 데 있어 이론적 간극을 메우기 위해.
• 제어 입력을 가진 시스템과 도달-피하기-유지 사양으로 이 프레임워크를 확장하기 위해.
• 부드러운 리아푸노프-바리어 함수를 사용하여 안정성과 안전성에 대한 필요 및 충분 조건을 제공하기 위해.
• 안전 중심 제어 설계를 위한 계산 방법에 대한 이론적 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 전체 초기 조건 집합에서 성립하는 성질을 인증하는 부드러운 리아푸노프 함수를 정의하여 점점 줄어드는 안정성과 안전성 제약 조건을 특성화한다.
• 내성성 논증을 사용하여 역 정리를 도달-피하기-유지 사양으로 확장하며, 목표 및 안전 집합을 포함하는 컴팩트 집합 A와 열린 도메인 D를 도입한다.
• 편미분형태의 드리프트 및 교란 항을 포함하는 소산 부등식을 만족하는 D 위에서 정의된 부드러운 리아푸노프 함수 V를 정의한다: sup_{d∈δ′ℬ} [L_f V(x,d) + L_g V(x)u + V(x)] ≤ 0.
• 안전 집합 W에서 B(x) ≥ 0이고 비안전 집합 U에서 B(x) < 0이 되도록 바리어 함수 B를 정의하며, L_f B + L_g B u ≥ 0을 통해 전방 불변성을 확보한다.
• 도달-피하기-유지 제어 가능성 조건 하에서 제어 리아푸노프-바리어 함수의 존재를 증명하며, 리프시츠 제어 법칙 κ와 교란에 대한 내성성을 사용한다.
• 제어 이론의 역 정리와 부드러운 근사 기법을 적용하여 리아푸노프 함수의 C^∞ 정규성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 측정 가능한 외란이 존재하는 비선형 시스템에서 단일 부드러운 리아푸노프 함수가 점점 줄어드는 안정성과 안전성을 동시에 인증할 수 있는가?
• RQ2 도달-피하기-유지 사양에 대한 역 리아푸노프-바리어 정리는 순수한 안정성과 안전성의 경우만큼 강력한가?
• RQ3 제어 입력을 가진 시스템에서 부드러운 제어 리아푸노프-바리어 함수의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 추가 가정 없이 도달-피하기-유지 사양에 대한 역 정리를 강화할 수 있는가?
• RQ5 리아푸노프-바리어 함수의 이론적 존재성은 안전 중심 제어 설계에서 계산적 방법의 개발에 어떻게 기여할 수 있는가?

주요 결과

• 점점 줄어드는 안정성과 안전성 제약 조건을 고려할 때, 성질이 성립하는 전체 초기 조건 집합 위에서 정의된 부드러운 리아푸노프 함수가 존재한다.
• 도달-피하기-유지 사양에 대해서는 약간 더 약한 역 정리가 성립하며, 이 제한은 반례를 통해 피할 수 없다는 것이 입증된다.
• 도달-피하기-유지 제어 가능성 조건 하에서는 추가로 측정 가능한 외란이 존재하더라도 부드러운 리아푸노프-바리어 함수의 존재가 보장된다.
• 제어 입력을 가진 시스템에서는 도달-피하기-유지 사양이 제어 가능할 경우 제어 리아푸노프-바리어 함수가 존재한다.
• 결과는 구성적이지 않지만, 향후 계산 방법 개발을 안내할 수 있는 필요 및 충분 조건을 제공한다.
• 이론적 프레임워크는 안정성과 안전성 인증을 단일 부드러운 함수로 통합하며, 이전 연구에서 볼 수 있었던 지나치게 보수적인 조건을 피한다.