[논문 리뷰] Smooth Cyclically Monotone Interpolation and Empirical Center-Outward Distribution Functions

Eustasio del Barrio, Juan Cuesta Albertos외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Mathematical functions and polynomials인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 ℝᵈ 내의 유한한 쌍점 집합을 연속적인 사상으로 확장하면서 순환 단조성을 유지하는 매끄럽고 리프시츠 연속적인 순환 단조성 보간 방법을 제안한다. 이 해법은 다변량 설정에서 매끄럽고 중심에서 외곽으로 연속적인 경험 분포 함수를 가능하게 하며, 리프시츠 상수에 대한 날카운 하한과 글리벤코–칸텔리 수렴 성질을 제공한다.

ABSTRACT

We consider the smooth interpolation problem under cyclical monotonicity constraint. More precisely, consider finite n-tuples X =fx1; xng and Y = fy1; yng of points in Rd, and assume the existence of a unique bijection T :X !Y such that f(x; T(x)): x 2 Xg is cyclically monotone: our goal is to define continuous, cyclically mono-tone maps T :Rd !Rd such that T(xi) = yi, i = 1; n, extending a classical result by Rockafellar on the sub differentials of convex functions. Our solutions T are Lipschitz, and we provide a sharp lower bound for the corresponding Lipschitz constants. The problem is motivated by, and the solution naturally applies to, the concept of empirical center-outwarddistribution function in Rd developed in Hallin (2018). Those empirical distribution functions indeed are de_ned at the observations only. Our interpolation provides a smooth extension, as well as a multivariate, outward-continuous, jump function version thereof (the latter naturally generalizes the traditional left-continuous univariate concept); both satisfy a Glivenko-Cantelli property as n !1.

연구 동기 및 목표

• ℝᵈ 내의 유한한 쌍점 집합을 원래의 쌍을 유지하면서 연속적이고 순환 단조적인 사상으로 확장하는 것.
• 다변량 설정에서 경험 중심-외곽 분포 함수의 매끄럽고 리프시츠 연속적인 일반화를 제공하는 것.
• 그러한 보간의 리프시츠 상수에 대한 날카운 하한을 확립하는 것.
• 표본 크기 n이 증가함에 따라 보간된 사상이 글리벤코–칸텔리 성질을 만족하도록 보장하는 것.
• 일변량의 왼쪽 연속 분포 함수를 다변량, 외향 연속 프레임워크로 일반화하는 것.

제안 방법

• 모든 i = 1, ..., n에 대해 T(xi) = yi를 만족하는 연속적이고 순환 단조적인 사상 T: ℝᵈ → ℝᵈ를 구성하는 것.
• 사상 T가 리프시츠 연속임을 보장하고, 그 리프시츠 상수에 대한 날카운 하한을 유도하는 것.
• 로카팔라르의 정리에 기반한 볼록 함수의 준미분 이론을 활용하여 보간을 구성하는 것.
• 초기에는 데이터 포인트에서만 정의된 경험 중심-외곽 분포 함수를 보간을 통해 매끄럽게 연장하는 것.
• 일변량의 왼쪽 연속 개념을 다변량, 외향 연속 설정으로 일반화한 점프 함수 버전의 경험 분포 함수를 도입하는 것.
• 표본 크기 n → ∞일 때, 매끄럽고 점프 함수 버전의 확장이 모두 글리벤코–칸텔리 성질을 만족함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원래의 쌍을 유지하면서 ℝᵈ 내의 유한한 쌍점 집합에 대해 매끄럽고 순환 단조적인 확장을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 그러한 보간의 최소 가능한 리프시츠 상수는 무엇이며, 날카운 하한으로 유계일 수 있는가?
• RQ3 데이터 포인트에서만 정의된 경험 중심-외곽 분포 함수는 다변량 설정에서 연속 사상으로 매끄럽게 확장될 수 있는가?
• RQ4 제안된 보간은 볼록 함수의 준미분 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 경험 분포 함수의 최종적인 매끄럽고 점프 함수 버전의 확장은 글리벤코–칸텔리 유형 수렴을 만족하는가?

주요 결과

• 각 xi를 yi로 매핑하면서 원래의 순환 단조성 쌍을 유지하는 유일한 연속적이고 순환 단조적인 보간 T: ℝᵈ → ℝᵈ가 존재한다.
• 보간은 리프시츠 연속이며, 데이터 포인트의 기하학적 구조로부터 리프시츠 상수에 대한 날카운 하한이 도출된다.
• 매끄러운 보간은 일변량 경험 분포 함수를 다변량, 외향 연속, 점프 함수 버전으로 일반화한다.
• 경험 중심-외곽 분포 함수의 매끄럽고 점프 함수 버전의 확장은 n → ∞일 때 글리벤코–칸텔리 성질을 만족한다.
• 이 방법은 헬린(2018)의 경험 중심-외곽 분포 함수 개념을 전체 공간 ℝᵈ로 자연스럽게 연장한다.
• 고전적인 볼록 함수 준미분 이론 결과를 순환 단조성 제약 조건이 있는 유한점 보간 설정으로 확장한다.