[논문 리뷰] Smooth functions on 2-torus whose Kronrod-Reeb graph contains a cycle

Sergiy Maksymenko, Bohdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 25.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 크론로드-리브 그래프에 정확히 한 개의 사이클을 포함하는 2-토러스 위의 부드러운 모어스 함수를 연구한다. 이들 함수의 궤도 공간의 기본군이 원판 하위표면의 기본군을 포함하는 준직접곱과 동형임을 증명하며, 궤도의 위상적 복잡성을 더 단순한 표면으로 감소시킨다. 핵심 결과는 군 동형과 경로 공간 위의 유도된 작용을 통한 호모토피 이론적 감소를 수립한다.

ABSTRACT

Let $f:M o \mathbb{R}$ be a Morse function on a connected compact surface $M$, and $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be respectively the stabilizer and the orbit of $f$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms $\mathcal{D}(M)$. In a series of papers the first author described the homotopy types of connected components of $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ for the cases when $M$ is either a $2$-disk or a cylinder or $χ(M)<0$. Moreover, in two recent papers the authors considered special classes of smooth functions on $2$-torus $T^2$ and shown that the computations of $π_1\mathcal{O}(f)$ for those functions reduces to the cases of $2$-disk and cylinder. In the present paper we consider another class of Morse functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ whose KR-graphs have exactly one cycle and prove that for every such function there exists a subsurface $Q\subset T^2$, diffeomorphic with a cylinder, such that $π_1\mathcal{O}(f)$ is expressed via the fundamental group $π_1\mathcal{O}(f|_{Q})$ of the restriction of $f$ to $Q$. This result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o \mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smoothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

연구 동기 및 목표

• 2-토러스 위의 부드러운 함수의 궤도 공간의 호모토피 유형을 이해하기 위해, 크론로드-리브 그래프에 정확히 한 개의 사이클을 포함하는 경우를 대상으로 한다.
• 이전의 결과를 더 단순한 표면(디스크, 실린더)의 궤도 및 안정자군 호모토피 유형으로부터, 비자명한 위상 구조를 가진 2-토러스로 확장한다.
• 궤도 공간의 기본군이 2-토러스에 포함된 실린더 하위표면의 기본군으로의 구조적 감소를 확립한다.
• 경로 공간 위의 유도된 동형과 군 작용을 통해 궤도 공간의 기본군을 특성화한다.

제안 방법

• 저자들은 2-토러스의 부분표면 $ Q \subset T^2 $를 식별하며, 이는 실린더와 미분형이며, $ f|_Q $ 가 2-토러스 위에서 $ f $ 의 본질적인 위상적 자료를 포괄한다.
• 유한 차수를 가진 미분형 $ g $ 를 사용하여 실린더 하위표면의 성분을 순열하는 바람에, $ Q $ 의 미분형 군의 경로 공간 위에 $ \mathbb{Z}_n $-작용을 구성한다.
• 미분형 $ g $ 의 작용을 이용하여, 경로 공간 위의 유도된 사상들을 통해 궤도 공간의 기본군에 대한 준직접곱의 구조를 정의한다.
• 저자들은 군 동형 $ \eta $ 를 $ \mathbb{Z}_n \to \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) $ 의 사상 공간에서 $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}_{\mathcal{C}}, \mathcal{S}_{\mathcal{C}}) $ 로 정의하며, 궤도 위상이 실린더 하위표면과 연결됨을 보여준다.
• 저자들은 와퍼드 tích $ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $ 에서 $ \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $ 로의 사상 $ \xi $ 를 정의하며, 오일러의 다섯 개의 보조정리로 이를 동형으로 증명한다.
• 정확한 수열을 포함하는 다이어그램의 교환성을 검증하고, 이를 통해 $ \xi $ 가 동형임을 증명함으로써 궤도 공간의 기본군을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크론로드-리브 그래프에 정확히 한 개의 사이클을 포함하는 2-토러스 위의 모어스 함수의 궤도 공간의 기본군은 어떻게 분해되는가?
• RQ2 KR-그래프에 단일 사이클이 존재할 경우, 궤도 공간의 호모토피 유형이 실린더와 같은 더 단순한 표면의 것으로 감소할 수 있는가?
• RQ3 유한 차수를 가진 미분형의 군 작용이 2-토러스의 궤도 위상과 하위표면의 위상 간의 관계를 어떻게 형성하는가?
• RQ4 2-토러스 위의 궤도 공간의 기본군은 경로 공간 위의 유도된 동형을 통해 실린더 하위표면의 궤도 기본군과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 함수에 대해 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 의 대수적 구조는 무엇이며, 이는 어떻게 와퍼드 적합 구조에 암호화되어 있는가?

주요 결과

• 모든 크론로드-리브 그래프에 정확히 한 개의 사이클을 포함하는 모어스 함수 $ f: T^2 \to \mathbb{R} $ 에 대해, 실린더와 미분형인 부분표면 $ Q \subset T^2 $ 가 존재하며, $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 는 $ f|_Q $ 의 궤도의 기본군과 동형이다.
• 기본군 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ 는 와퍼드 적합 $ \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} $ 와 동형이며, 여기서 $ n $ 은 사이클의 성분 수이다.
• 사상 $ \xi: \pi_1(\mathcal{D}^Q, \mathcal{S}^Q) \mathop{\wr}\limits_{\mathbb{Z}_n} \mathbb{Z} \to \pi_1(\mathcal{D}^{\mathrm{id}}, \mathcal{S}) $ 는 동형이며, 궤도의 기본군의 완전한 대수적 기술을 수립한다.
• 동형 $ \xi $ 는 경로 공간 위의 유도된 사상으로 구성되며, 실린더 하위표면에서 순서 $ n $ 의 미분형 $ g $ 의 작용을 통해 군 준동형임을 확인한다.
• 정확한 수열을 포함하는 다이어그램은 교환되며, 오일러의 다섯 개의 보조정리를 통해 동형 $ \xi $ 가 확인되어 위상적 감소가 완료된다.
• 이 결과는 임계점에서의 껍질이 다중 인수 없이 동차 다항식과 미분형으로 동치인 부드러운 함수의 광범위한 클래스에 대해 성립하며, 오직 모어스 함수를 넘어서도 적용 가능하다.