[논문 리뷰] Smooth norms and approximation in Banach spaces of the type C(K)

Petr Hájek, Richard Haydon|ArXiv.org|2006. 10. 12.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\sigma$-이산 분리 공간 $K$ 위에서 정의된 연속 함수 공간 $\mathcal{C}(K)$가 국소 균일하게 둥근(LUR) 쌍대 노름을 갖는 등가 노름을 가질 경우, 항상 등가 $\mathcal{C}^\infty$ 노름을 가짐을 증명한다. 핵심 결과는 오르리츠 유형 노름과 은직함수정리(implicit function theorem)를 사용한 구성적 증명으로, 이러한 매끄러운 노름이 유계 집합에서 최대노름을 균일하게 근사할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We prove two theorems about differentiable functions on the Banach space C(K), where K is compact. (i) If C(K) admits a non-trivial function of class C^m and of bounded support, then all continuous real-valued functions on C(K) may be uniformly approximated by functions of class C^m. (ii) If C(K) admits an equivalent norm with locally uniformly convex dual norm, then C(K) admits an equivalent norm which is of class C^infty (except at 0).

연구 동기 및 목표

• 오랜 동안 미해결이었던 $\mathcal{C}(K)$ 공간에서의 매끄러운 근사 문제를 해결하기 위해, 쌍대 노름이 LUR 조건이면 $\mathcal{C}^1$ 매끄러움이 $\mathcal{C}^\infty$ 매끄러움으로 이어짐을 보이는 것.
• 만약 $K$가 $\sigma$-이산이고 $\mathcal{C}(K)^*$가 LUR 쌍대 노름을 갖는다면, $\mathcal{C}(K)$ 위 연속 함수들이 $\mathcal{C}^\infty$ 함수들에 의해 균일하게 근사될 수 있음을 보여주는 것.
• 오르리츠 함수와 은직함수정리를 사용하여 $\mathcal{C}(K)$ 위에 명시적인 $\mathcal{C}^\infty$ 등가 노름을 구성하는 것.
• 만약 $K$가 $\sigma$-이산이면, $\mathcal{C}(K)$ 위의 최대노름이 유계 집합에서 $\mathcal{C}^\infty$ 노름들에 의해 균일하게 근사될 수 있음을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 $t$에 대해 $\phi_t(x) = 0$ ($x \leq \alpha(t)$) 이고 $\phi_t(x) > 1$ ($x \geq \beta(t)$) 인 $\mathbb{R}^+$ 위의 오르리츠 함수 $\phi_t$의 가중치를 정의하며, $0 < \alpha(t) < \beta(t) < 1$ 이다.
• 비선형 연산자 프레임워크를 사용하여 $\|f\|_{\phi(\cdot)} = \inf\{\rho > 0 : \Psi(f, \rho) = 1\}$ 라는 노름을 구성하며, 여기서 $\Psi(f, \rho) = \sum_t \phi_t(\rho^{-1}|f(t)|)$ 이다.
• 부분도함수 $\text{D}_2\Psi$ 가 0이 아니라는 조건을 이용하여 은직함수정리를 적용함으로써 $\|\cdot\|_{\phi(\cdot)}$ 가 $\mathcal{C}(K) \setminus \{0\}$ 에서 $\mathcal{C}^\infty$ 임을 보이는 것.
• $K$의 $\sigma$-이산성 조건을 활용하여 $D_i$ 라는 이산 집합들로 분해하고, $\alpha(t) = \prod \{r_i : t \in \overline{D}_i\}$, $\beta(t) = \alpha(t) \cdot r_j$ ($t \in D_j$) 라 정의함으로써 $\alpha(t) < \beta(t)$ 를 확보하는 것.
• $\|f\|_\infty \leq \|f\|_{\phi(\cdot)} \leq \alpha^{-1}\|f\|_\infty$ 를 만족시키며, 여기서 $\alpha = \prod r_i$ 이므로 최대노름이 $\mathcal{C}^\infty$ 노름들에 의해 균일하게 근사 가능함을 보이는 것.
• 수열 수렴 $t_n \to t$ 와 레미마 6($\beta(t) \leq \liminf \alpha(t_n)$) 를 이용한 모순 증명을 통해 노름의 잘 정의됨과 매끄러움을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 만약 $\mathcal{C}(K)$가 국소 균일하게 둥근(LUR) 쌍대 노름을 갖는 등가 노름을 가진다면, 이는 $\mathcal{C}^\infty$ 등가 노름의 존재를 의미하는가?
• RQ2 만약 $K$가 $\sigma$-이산이고 $\mathcal{C}(K)^*$가 LUR 쌍대 노름을 갖는다면, $\mathcal{C}(K)$ 위 연속 함수들이 $\mathcal{C}^\infty$ 함수들에 의해 균일하게 근사될 수 있는가?
• RQ3 오르리츠 유형 함수와 비선형 연산자를 사용하여 $\mathcal{C}(K)$ 위에 명시적인 $\mathcal{C}^\infty$ 등가 노름을 구성할 수 있는가?
• RQ4 만약 $K$가 $\sigma$-이산이면, $\mathcal{C}(K)$ 위의 최대노름이 유계 집합에서 $\mathcal{C}^\infty$ 노름들에 의해 균일하게 근사될 수 있는가?
• RQ5 $K$의 어떤 조건이 $\mathcal{C}(K)$가 $\mathcal{C}^\infty$ 재노름 가능하게 하는가, 특히 LUR 쌍대 노름의 존재와의 관계에서 어떻게 되는가?

주요 결과

• 만약 $\mathcal{C}(K)^*$가 등가 LUR 쌍대 노름을 갖는다면, $\mathcal{C}(K)$는 등가 $\mathcal{C}^\infty$ 노름을 갖는다. 이는 $\mathcal{C}(K)$ 공간의 특수한 경우에 대해 오랫동안 제기된 추측을 해결한 것이다.
• 구성된 $\mathcal{C}^\infty$ 노름은 $\|f\|_\infty \leq \|f\|_{\phi(\cdot)} \leq \alpha^{-1}\|f\|_\infty$ 를 만족하며, 여기서 $\alpha = \prod r_i$ 이고, $\alpha$ 는 1에 임의로 가까이 만들 수 있다.
• $\text{D}_2\Psi$ 가 0이 아니므로, $\|f\|_{\phi(\cdot)}$ 는 $\mathcal{C}(K) \setminus \{0\}$ 에서 $\mathcal{C}^\infty$ 임을 보장하며, 이는 은직함수정리의 적용 조건을 충족시킨다.
• 이 증명은 $K$의 $\sigma$-이산성에 의존하며, 이는 $D_i$ 라는 이산 집합들로 분해 가능하게 하고, 오르리츠 함수를 정의하기 위해 $\alpha(t)$와 $\beta(t)$ 를 구성하는 데 기여한다.
• 모든 수렴 수열 $t_n \to t$ 에 대해 $\beta(t) \leq \liminf \alpha(t_n)$ 임을 보였으며, 이는 노름 구성에서 이상한 행동을 방지하는 데 필수적이다.
• 결과적으로, 연속 함수들이 $\mathcal{C}(K)$에서 $\mathcal{C}^\infty$ 함수들에 의해 유계 집합에서 균일하게 근사될 수 있음을 보여주며, 원래 노름이 $\mathcal{C}^\infty$ 가 아니더라도 가능하다.