[논문 리뷰] Smooth perturbations of the functional calculus and applications to Riemannian geometry on spaces of metrics

Harms, Philipp|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 65인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 기하학과 관련된 클래스의 연산자에 대해 함수해석학의 해석적 의존성을 확립하며, 스об올레프 위상에서 분수 라플라스 연산자가 리만 계량에 대해 해석적으로 변동함을 증명한다. 주요 응용으로, 모든 리만 계량의 공간에서 분수 스오볼레프 계량에 대한 지오데식 방정식의 국소 적으로 잘 정의됨을 보여준다.

ABSTRACT

We show that the functional calculus, which maps operators A to functionals f(A), is holomorphic for a certain class of operators A and holomorphic functions f. Using this result we are able to prove that fractional Laplacians depend real analytically on the underlying Riemannian metric in suitable Sobolev topologies. As an application we obtain local well-posedness of the geodesic equation for fractional Sobolev metrics on the space of all Riemannian metrics. (Joint work with Martins Bruveris, Martin Bauer, and Peter W. Michor)

연구 동기 및 목표

• 기하학적 분석과 관련된 특정 연산자 클래스에 대해 함수해석학의 해석성(holomorphicity)을 확립하기 위해.
• 스오볼레프 위상에서 기저가 되는 리만 계량에 대한 분수 라플라스 연산자의 의존성에 대해 연구하기 위해.
• 함수해석학 결과를 이용하여 무한차원 리만 계량 공간 위의 기하학적 구조를 연구하기 위해.
• 모든 리만 계량의 공간에서 분수 스오볼레프 계량에 대한 지오데식 방정식이 국소적으로 잘 정의됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 특정 연산자 클래스에 대해 해석적 함수해석학을 활용하여 매개변수에 대한 해석적 의존성을 보장하기 위해.
• 적절한 연산자 및 함수 조건 하에서 함수해석학 사상 A ↦ f(A)가 해석적임을 증명하기 위해.
• 변하는 리만 계량과 관련된 라플라스-베르트라미 연산자 가중치에 대해 해석성 결과를 적용하기 위해.
• 분수 라플라스 연산자 f(Δ_g)가 적절한 스오볼레프 위상에서 계량 g에 대해 실해석적으로 의존함을 증명하기 위해.
• 실해석적 의존성을 활용하여 계량 공간에서 지오데식 스프레이나의 정(regularity)을 분석하기 위해.
• 해석적 프레임워크를 활용하여 분수 스오볼레프 계량에 대한 지오데식의 국소 존재성 및 유일성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 특정 연산자 A에 대해 함수해석학 사상 A ↦ f(A)가 해석적일 수 있는가?
• RQ2 스오볼레프 위상에서 분수 라플라스 연산자 f(Δ_g)는 리만 계량 g에 대해 어떻게 의존하는가?
• RQ3 분수 라플라스 연산자가 계량에 대해 실해석적으로 의존하는 것을 이용하여 계량 공간의 기하학적 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 모든 리만 계량의 공간에서 분수 스오볼레프 계량에 대한 지오데식 방정식은 국소적으로 잘 정의되는가?
• RQ5 분수 스오볼레프 계량의 맥락에서 지오데식 스프레이나의 정(regularity)은 어떠한가?

주요 결과

• 함수해석학 사상 A ↦ f(A)는 특정 연산자 A와 해석적 함수 f에 대해 해석적이다.
• 분수 라플라스 연산자는 적절한 스오볼레프 위상에서 기저가 되는 리만 계량에 대해 실해석적으로 의존한다.
• 분수 라플라스 연산자가 계량에 대해 실해석적으로 의존함으로써 계량 공간에서 기하학적 흐름의 분석이 가능해진다.
• 모든 리만 계량의 공간에서 분수 스오볼레프 계량에 대한 지오데식 방정식은 국소적으로 잘 정의된다.
• 해석적 프레임워크는 계량 공간의 무한차원 기하학 연구를 위한 기초를 제공한다.
• 이러한 결과들은 함수해석학의 적용 범위를 리만 계량 공간 위의 기하학적 분석으로 확장한다.