[논문 리뷰] Smooth subsolutions of the discounted Hamilton-Jacobi equations

Huang, Xiyao, Liang Jin외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 21.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 컴act 리만다이언 군면에서 할람턴-자코비 방정식 $\lambda u + H(x, du) = 0$ 에 대해 $C^{1,1}$ 하위해를 구성하며, 이들이 정확히 투영된 아우브리 집합에서 해임을 보여준다. 추가적인 비선형성 가정 하에 이러한 하위해의 미세도가 향상되어, 동형 심플렉틱 흐름의 전역 수렴집합을 식별하고, 라크스-올라니크 반군의 수렴 속도를 제어할 수 있다.

ABSTRACT

For the discounted Hamilton-Jacobi equation,$$λu+H(x,d_x u)=0, \ x \in M, $$we construct $C^{1,1}$ subsolutions which are indeed solutions on the projected Aubry set. The smoothness of such subsolutions can be improved under additional hyperbolicity assumptions. As applications, we can use such subsolutions to identify the maximal global attractor of the associated conformally symplectic flow and to control the convergent speed of the Lax-Oleinik semigroups

연구 동기 및 목표

• 할람턴-자코비 방정식의 부드러운 하위해를 구성하여, 이들이 투영된 아우브리 집합에서 해임을 보이기.
• 비선형성 가정 하에 이러한 하위해의 정규성(스무스함)을 향상시키기.
• 구성된 하위해를 이용하여 동형 심플렉틱 흐름의 최대 전역 수렴집합을 식별하기.
• 구성된 하위해를 이용하여 라크스-올라니크 반군의 수렴 속도를 제어하기.

제안 방법

• λ-지배 함수의 변분 원리를 사용하여 하위해 집합 $\mathcal{S}^{-}$ 를 정의한다.
• λ-지배 함수로부터의 극한 과정을 통해 $C^{1,1}$ 하위해를 구성한다.
• 이 하위해들이 투영된 아우브리 집합 $\mathcal{A}$ 에서 할람턴-자코비 방정식을 정확히 만족함을 증명한다.
• 약한 카르멘 해와 전역 최소화자 이론을 적용하여 하위해와 복소해 $u^{-}$ 를 연결한다.
• 레이지안드르 변환과 토넬리 라그랑지안 $L$ 을 사용하여 해밀토니안과 변분 형식을 연결한다.
• λ 와 $L$ 의 변화에 따른 아우브리 집합의 상부 연속성(upper semicontinuity)을 이용하여 결과의 안정성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 할람턴-자코비 방정식에 대해 투영된 아우브리 집합에서 해가 되는 $C^{1,1}$ 하위해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 추가적인 비선형성 조건이 이러한 하위해의 정규성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 이러한 하위해를 이용하여 동형 심플렉틱 흐름의 최대 전역 수렴집합을 식별할 수 있는가?
• RQ4 복소해 $u^{-}$ 는 전역 최소화자에 의한 아우브리 집합의 특성화에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 라크스-올라니크 반군은 어떻게 수렴하며, 구성된 하위해를 통해 이 수렴 속도를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 할람턴-자코비 방정식의 복소해 $u^{-}$ 는 $\mathcal{S}^{-}$ 내의 모든 $C^{\infty}$ 하위해의 점별 최대값이며, 이는 부드러운 하위해와 복소해 사이의 이중성(duality)을 확립한다.
• 구성된 $C^{1,1}$ 하위해는 정확히 투영된 아우브리 집합 $\mathcal{A}$ 에서 할람턴-자코비 방정식을 만족하며, 하위해 이론과 아우브리-메이서 구조 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 비선형성 가정 하에 하위해의 정규성이 $C^{1,1}$ 초과로 향상될 수 있으며, 이는 더 강력한 구조적 통제를 시사한다.
• 아우브리 집합 $\widetilde{\mathcal{A}}$ 는 모든 전역적으로 캘리브레이션된 곡선의 합집합으로 특성화되며, $\mathcal{A} = \pi(\widetilde{\mathcal{A}})$ 는 $M$ 위에서 리프시츠 연속 그래프이므로 그 내재적 정규성을 확인한다.
• 라크스-올라니크 반군 $\mathcal{T}^{-}_{t}$ 는 $t \to \infty$ 일 때 $u^{-}$ 로 수렴하며, 이 수렴 속도는 $F_{\gamma}(t) \to 0$ 의 감쇠에 의해 제어된다. 여기서 $F_{\gamma}(t)$ 는 큰 $t$ 에서 $\epsilon$ 이하로 유계이다.
• 아우브리 집합은 $\lambda$ 와 $L$ 에 대해 히우스도르프 위상에서 상부 연속적이며, 이는 변화에 대한 불변집합의 안정성을 보장한다.