[논문 리뷰] Smoothness and singularities of the perfect form and the second Voronoi compactification of ${\mathcal A}_g$

Mathieu Dutour Sikirić, Klaus Hulek외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주로 편평한 극형 타원곡선의 모듈리 공간의 두 개의 토르oidal 컴팩티피케이션, 즉 완전한 코너 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 와 두 번째 보로노이 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 의 특이점들을 조사한다. $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 내의 완전한 코너와 다면체 분해의 조합론적 분석을 통해, 저자들은 $g \geq 4$ 일 때 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 의 특이점의 여부가 10차원임을 증명하고, $g \geq 5$ 일 때 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 가 3차원에서 특이점을 지닌다는 것을 보이며, 후자의 경우에 대해 비단순 다면체 코너의 구체적인 예를 제시한다.

ABSTRACT

We study the cones in the first Voronoi or perfect cone decomposition of quadratic forms with respect to the question which of these cones are basic or simplicial. As a consequence we deduce that the singular locus of the moduli stack ${\mathcal A_g^{\mathop{Perf}}}$, the toroidal compactification of the moduli space of principally polarized abelian varieties of dimension $g$ given by this decomposition, has codimension $10$ if $g \geq 4$. Moreover we describe the non-simplicial locus in codimension $10$. We also show that the second Voronoi compactification ${\mathcal A_{g}^{\mathop{Vor}}}$ has singularities in codimension $3$ for $g\geq 5$.

연구 동기 및 목표

• 주로 편평한 극형 타원곡선의 모듈리 공간의 완전한 코너 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 의 특이점의 여부를 결정하는 것.
• 특히 그 기본성과 단순성에 초점을 맞춰, $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 내의 완전한 코너의 기하학적 및 조합론적 성질을 분석하는 것.
• 두 번째 보로노이 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 의 특이점들을 조사하여, 그 특이점의 여부를 집중적으로 연구하는 것.
• 9차원 완전한 코너를 분류하고, 낮은 차원에서 완전한 코너가 항상 단순형이고 기본적인지 검토하는 것.
• 특히 $g \geq 5$ 일 때 두 번째 보로노이 분해 내에서 비단순 다면체 코너의 구체적인 예를 제시하는 것.

제안 방법

• 양의 정부호 이차형식의 첫 번째 보로노이(완전한 코너) 분해를 분석함으로써, $\operatorname{GL}_g(\mathbb{Z})$-불변의 다면체 분해를 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{R}^g)$ 에 적용하는 것.
• KMS 알고리즘에 기반하여, $\operatorname{GL}_8(\mathbb{Z})$ 에 의한 유니모듈라 동치를 통한 9차원 완전한 코너의 알고리즘적 분류 방법을 사용하는 것.
• 1차원 면의 정수 생성자를 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 의 $\mathbb{Z}$-기저로 확장할 수 있는지 검증함으로써 코너의 기본성을 테스트하는 것.
• 기존의 두 번째 보로노이 분해 결과를 $g=5$ 까지 활용하고, 명시적인 그람 행렬을 사용하여 고차원 $g$ 로의 비단순 다면체 코너 확장을 수행하는 것.
• 명시적인 $5 \times 5$ 그람 행렬을 사용하여, 다면체가 그 차원보다 많은 극한 반사사슬에 의해 생성되는지 확인함으로써 비단순성 여부를 검증하는 것.
• 소규모 $g$ 에 대해 코너 분해를 접근하고 검증하기 위해 전자 데이터베이스와 [scc] 와 같은 계산 도구를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $g \geq 4$ 에 대해 완전한 코너 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 의 특이점의 여부는 얼마인가요?
• RQ2 모든 $g \leq 9$ 차원에서 완전한 코너가 단순형이면서 기본적인가요?
• RQ3 $g \geq 5$ 일 때 두 번째 보로노이 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 의 특이점의 여부는 얼마인가요?
• RQ4 $g \geq 5$ 일 때 두 번째 보로노이 분해 내에서 비단순 다면체 코너를 명시적으로 구성할 수 있나요?
• RQ5 두 번째 보로노이 분해의 모든 코너가 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 내의 부분격자로 지수 1을 가지는가요?

주요 결과

• 모든 $g \geq 4$ 에 대해 완전한 코너 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 의 특이점의 여부는 10이다.
• 10차원에서, $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Perf}}$ 의 비단순 다면체 영역은 9차원 완전한 코너의 분류를 통해 명시적으로 기술된다.
• 두 번째 보로노이 컴팩티피케이션 $\mathcal{A}_g^{\operatorname{Vor}}$ 는 $g \geq 5$ 일 때 3차원에서 특이점을 지닌다. 이는 3차원에 4개의 생성자를 가진 비단순 다면체 코너가 존재하기 때문이다.
• $g \leq 9$ 일 때, 모든 완전한 코너는 단순형이자 기본적이지만, 일반적인 다면체 코너에 대해서는 성립하지 않는다.
• $g=5$ 에 대해 두 번째 보로노이 분해 내에서 비단순 다면체 코너의 명시적 예를 제시하며, 그람 행렬을 통해 4개의 생성자가 3차원 다면체를 생성하는 것으로 보여진다.
• 논문은 두 번째 보로노이 분해의 모든 코너가 $\operatorname{Sym}^2(\mathbb{Z}^g)$ 내에서 지수 1의 부분격자를 가지는지 여부를 여전히 열려있다. 비록 지수 $>1$ 인 예가 발견되지 않았다.