[논문 리뷰] Smoothness in Relative Geometry

Florian Marty|ArXiv.org|2008. 12. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 대칭 모노이드 범주 $\mathcal{C}$ 위에서의 상대 대수기하학에서 매끄러움의 호모토판 일반화를 제안한다. Rezk의 작업을 통해 단순 복합체와 모델 구조를 이용하여 정의하며, 호모토플릭 유한 표현성, 영 토르 차원, 대각선의 호모토플릭 유한 표현성을 조건으로 하여 매끄러운 사상들을 정의한다. 이는 링에서의 고전적 매끄러움을 복원하며, 합성과 호모토플릭 쐐기합에 대해 안정성을 보이며, $\mathbb{N}$-mod와 $\mathrm{Set}$에서의 예를 제시한다.

ABSTRACT

In \cite{tva}, Bertrand Toen and Michel Vaquie defined a scheme theory for a closed monoidal category $(C,\otimes,1)$. In this article, we define a notion of smoothness in this relative (and not necesarilly additive) context which generalizes the notion of smoothness in the category of rings. This generalisation consists practically in changing homological finiteness conditions into homotopical ones using Dold-Kahn correspondance. To do this, we provide the category $sC$ of simplicial objects in a monoidal category and all the categories $sA-mod$, $sA-alg$ ($a\in sComm(C)$) with compatible model structures using the work of Rezk in \cite{r}. We give then a general notions of smoothness in $sComm(C)$. We prove that this notion is a generalisation of the notion of smooth morphism in the category of rings and provide some examples of smooth morphisms in $N-alg$, $Comm(Set)$ and Comm(C).

연구 동기 및 목표

• 호모토플릭 유한성 조건을 사용하여, 가환 링에서의 고전적 매끄러운 사상의 개념을 상대적이고 비加성적 맥락으로 일반화하기 위해.
• 모노이드 범주 $\mathcal{C}$ 위에서의 단순 가환 모노이드의 범주 $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$에서 매끄러움을 정의하여 고전적 매끄러움을 확장하기 위해.
• 상대적 맥락에서 합성과 호모토플릭 쐐기합에 대해 매끄러운 사상의 안정성을 확립하기 위해.
• 예를 들어 $\mathbb{N}$-mod와 $\mathrm{Set}$와 같은 비가환 맥락에서 매끄러운 사상의 구체적 예를 제공하기 위해.
• Dold-Kahn 대응을 통해 호소학적 유한성 조건(예: 완전성, 유한 표현성)과 호모토플릭 유사 조건을 통합하기 위해.

제안 방법

• 모든 $A \in s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$에 대해 $s\mathcal{C}$, $sA$-mod, $sA$-alg에 호환되는 모델 구조를 Rezk의 작업을 활용하여 부여한다.
• Dold-Kahn 대응을 적용하여 호소학적 유한성 조건을 호모토플릭 조건(예: 호모토플릭 유한 표현성)으로 대체한다.
• 매끄러움을 세 조건으로 정의한다: (i) $C$는 $B$에 대해 호모토플릭 유한 표현성, (ii) $C$는 $B$에 대해 토르 차원 0, (iii) $C \otimes^h_B C \to C$는 $sC \otimes^h_B C$-mod에 대해 호모토플릭 유한 표현성이다.
• Dold-Kahn 대응을 통해 체인 복합체에서의 완전성과 단순 복합체 모듈러스에서의 호모토플릭 유한 표현성 간의 대응을 활용한다.
• $\underline{\mathrm{Hom}}^\Delta(1,-)$의 가역성 조건을 이용하여 $\mathrm{Set}$에서의 매끄러운 성질을 $s\mathrm{Set}$와 $s\mathbb{N}$-mod로 이행한다.
• Zariski 열린 포함에 관한 결과를 적용하여, $A$가 코프라이프이고 $f \in A_0$이면 $A \to A_f$가 매끄럽다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환 링에서의 고전적 매끄러운 사상의 개념을 비가환적이고 상대적인 기하 맥락으로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 상대 맥락에서 고전적 호소학적 유한성 조건(유한 표현성, 평탄성, 완전성)에 대응하는 호모토플릭 조건는 무엇인가?
• RQ3 제안된 매끄러운 사상의 정의가 $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$에서 합성과 호모토플릭 쐐기합에 대해 안정성을 보이는가?
• RQ4 아핀 직선 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_1}$과 $\mathbb{G}_m$이 $\mathbb{N}$-mod나 $\mathrm{Set}$에서 매끄럽다는 것을 보일 수 있는가?
• RQ5 상대 호모토플릭 프레임워크에서, 어떤 조건에서 Zariski 열린 포함이 매끄럽게 된다?

주요 결과

• 제안된 매끄러운 조건은 고전적 링에서의 매끄러움을 일반화한다: $\mathcal{C} = \mathbb{Z}$-mod일 경우, 유한 표현성, 평탄성, 완전성 조건을 포함하는 표준 기준을 복원한다.
• $s\mathrm{Comm}(\mathcal{C})$에서 매끄러운 사상은 합성과 호모토플릭 쐐기합에 대해 안정적이며, 좋은 범주론적 성질을 보장한다.
• $s\mathrm{Comm}(\mathrm{Set})$에서 $\mathbb{F}_1 \to \mathbb{N}$는 매끄럽고, $s\mathbb{N}$-mod에서 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}[X]$도 매끄럽다. 이는 비가환 맥락에서의 핵심 예이다.
• $\mathbb{A}^1_{\mathbb{N}}$는 $\mathbb{N}$-mod에서 매끄럽다. 왜냐하면 $\mathbb{N}[X]$는 $\mathbb{N}$ 위에서 자유이므로 토르 차원 0이기 때문이다.
• $\mathbb{G}_{m,\mathbb{N}}$는 $\mathbb{N}$-mod에서 매끄럽다. 왜냐하면 $\mathbb{N}[X,X^{-1}]$는 국소화이므로 $\mathbb{N}$에 대해 토르 차원 0이기 때문이다.
• Zariski 열린 포함 $A \to B$는 $A$가 코프라이프이고 $B$가 $A$에 대해 코프라이프이면 매끄럽다. 이는 $hfp$ 성질과 영 토르 차원 때문이다.