[논문 리뷰] Smoothness of cohomology sheaves of stacks of shtukas

Cong Xue|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 23.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 재구성군 $G$에 대해 스택의 shtuka의 컴팩트 지지를 가진 코homology 층이 $(X\setminus N)^I$ 위에서 인도-스무스임을 증명하며, 그 기하적 일반점 섹션은 $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$의 작용을 지닌다. 증명은 캄파크티피케이션과 히케 모듈의 유한성에 의존하지 않고, Eichler-Shimura 관계와 창조/소멸 연산자를 사용하며, 비분할 군과 커퍼스털 층으로까지 일반화된다.

ABSTRACT

We prove, for all reductive groups, that the cohomology sheaves with compact support of stacks of shtukas are ind-smooth over $(X - N)^I$ and that their geometric generic fibers are equiped with an action of $ ext{Weil}(X - N, \overlineη)^I$. Our method does not use any compactification of stacks of shtukas.

연구 동기 및 목표

• 임의의 재구성군 $G$에 대해 캄파크트 지지를 가진 shtuka 스택의 코homology 층이 캄파크티피케이션에 의존하지 않고 $(X\setminus N)^I$ 위에서 인도-스무스임을 증명한다.
• 히케 모듈의 유한성에 의존하지 않는 새로운 증명을 통해 기하적 일반점 섹션에 $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$의 작용이 있음을 보인다.
• 임의의 분할 $I = I_1 \sqcup I_2$에 대해, $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$로의 제한이 임의의 닫힌 점 $\overline{u}$에 대해 상수임을 보여, 결과를 일반화한다.
• 임의의 기하적 점에 대해 기하적 일반점으로의 전이 사상이 동형임을 보여, 코homology 층이 $(X\setminus N)^I$ 위에서 인도-스무스임을 증명한다.
• 상수항 사상들을 통해 정의된 스무스 커퍼스털 코homology 부분층 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$를 정의하고, 그 스무스성과 일반점에서의 유한차원성을 증명한다.

제안 방법

• Lafforgue(2018)의 Eichler-Shimura 관계를 사용하여, 히케 모듈의 유한성에 의존하지 않고 기하적 일반점 섹션에 웰 군 작용을 새롭게 증명한다.
• Lafforgue(2018)의 창조 및 소멸 연산자를 적용하여, 임의의 기하적 점 $\overline{x}$에 대해 사상 $\Upsilon: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}}$ 를 구성한다.
• 'Zorro' 보조정리를 사용하여, $\Upsilon \circ \mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*$ 와 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^* \circ \Upsilon$ 가 동형임을 보여, 전이 사상이 동형임을 증명한다.
• 인도-스무스성 결과를 활용하여, $\eta^I$ 에서 $(X\setminus N)^I$ 로의 상수항 사상을 확장함으로써 커퍼스털 코homology 부분층의 정의를 가능하게 한다.
• 모든 적절한 포물형 부분군에 대해 상수항 사상의 근을 교차하여 커퍼스털 코homology 층을 정의한다.
• 커스피달 층의 일반점이 유한차원임(참고: [Xue18a])과 전이 사상이 동형임을 이용하여, 커퍼스털 층이 스무스임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 재구성군 $G$에 대해 코homology 층 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 는 $(X\setminus N)^I$ 위에서 인도-스무스인가?
• RQ2 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 가 히케 대수 위에서 유한형임을 가정하지 않고도 $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ 가 기하적 일반점 섹션에 작용함을 증명할 수 있는가?
• RQ3 임의의 분할 $I = I_1 \sqcup I_2$ 와 임의의 닫힌 점 $\overline{u}$ 에 대해 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 의 $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 로의 제한이 여전히 상수인가?
• RQ4 임의의 기하적 점 $\overline{x}$ 에 대해 전이 사상 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 가 동형을 유도하는가?
• RQ5 커퍼스털 코homology 부분층 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ 는 $(X\setminus N)^I$ 위에서 스무스인가?

주요 결과

• 코homology 층 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 는 $(X\setminus N)^I$ 위에서 인도-스무스이며, 이는 스무스 $E$-층들의 인도극한임을 의미한다.
• 임의의 기하적 점 $\overline{x}$ 에 대해 전이 사상 $\mathfrak{sp}_{\overline{x}}^*: \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{x}} \to \mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{\overline{\eta_I}}$ 는 동형이며, 이는 인도-스무스성을 증명한다.
• 기하적 일반점 섹션에 대한 $\operatorname{Weil}(\eta,\overline{\eta})^I$ 의 작용은 $\operatorname{Weil}(X\setminus N,\overline{\eta})^I$ 를 통해 인해, 웰 군 작용이 전체 기저로 확장된다.
• $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j|_{({\overline{\eta}})^I}$ 는 상수층이며, 따라서 인도-스무스이다.
• 임의의 분할 $I = I_1 \sqcup I_2$ 에 대해, 임의의 기하적 점 $\overline{u}$ 가 $(X\setminus N)^{I_2}$ 위에 있을 때 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^j$ 의 $({\overline{\eta}})^{I_1} \times \overline{u}$ 로의 제한은 상수층이다.
• 커퍼스털 코homology 층 $\mathcal{H}_{G,N,I,W}^{j,\operatorname{cusp}}$ 는 인도-스무스이므로, 그 기하적 일반점이 유한차원이므로 스무스이다.