[논문 리뷰] Smoothness of scale functions for spectrally negative Levy processes

Terence Chan, Andreas E. Kyprianou외 1명|ArXiv.org|2009. 03. 08.

Probability and Risk Models참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 스펙트르리 플랫니스 Lévy 과정과 관련된 스케일 함수의 스무스함에 대한 충분조건을 Lévy 측도와 가우시안 계수에 대해 설정한다. 산문 이론, 라플라스 변환, 그리고 재생 방정식을 활용하여, Blumenthal-Getoor 지수 값이 2보다 작거나 Lévy 측도가 충분히 규칙적인 밀도를 가질 경우, 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 가 $ (0,\infty) $ 에서 $ k=2,3,\dots $ 에 대해 $ C^k $ 임을 증명한다. 이는 기존의 미분 가능성 및 재생 함수 스무스함에 관한 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Scale functions play a central role in the fluctuation theory of spectrally negative Lévy processes and often appear in the context of martingale relations. These relations are often complicated to establish requiring excursion theory in favour of Itô calculus. The reason for the latter is that standard Itô calculus is only applicable to functions with a sufficient degree of smoothness and knowledge of the precise degree of smoothness of scale functions is seemingly incomplete. The aim of this article is to offer new results concerning properties of scale functions in relation to the smoothness of the underlying Lévy measure. We place particular emphasis on spectrally negative Lévy processes with a Gaussian component and processes of bounded variation. An additional motivation is the very intimate relation of scale functions to renewal functions of subordinators. The results obtained for scale functions have direct implications offering new results concerning the smoothness of such renewal functions for which there seems to be very little existing literature on this topic.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $ C^1 $ 경우를 초월하여 스펙트르리 플랫니스 Lévy 과정의 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 의 스무스 성질을 조사하기 위해.
• 스케일 함수 $ W^{(q)} \in C^k(0,\infty) $ 를 보장하는 Lévy 측도 $ \Pi $ 와 가우시안 계수 $ \sigma^2 $ 에 대한 정확한 조건을 규명하기 위해.
• 서브오르디네이터의 재생 함수 스무스함에 관한 결과를 확장하기 위해, 스케일 함수와 이러한 재생 함수 사이의 密접한 연결을 활용하기 위해.
• 산문 이론과 라플라스 변환을 이용한 엄밀한 분석 프레임워크를 제공하여 스케일 함수의 고차 미분 가능성의 성립을 입증하기 위해.

제안 방법

• 스케일 함수의 산문 이론 표현식 $ W(x) = W(a) \exp\left(-\int_x^a n(\overline{\epsilon} > t) dt\right) $ 을 사용하여 $ W $ 의 도함수 구조를 분석하기 위해.
• 좌우 도함수의 표현식 유도: $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} \geq x)W(x) $ 와 $ W'(x\pm) = n(\overline{\epsilon} > x)W(x) $ 를 각각 사용하여.
• 측도의 변화 $ dP_x^{\Phi(q)}/dP_x|_{\mathcal{F}_t} = e^{\Phi(q)(X_t - x) - qt} $ 를 적용하여 $ W^{(q)} $ 와 변환된 과정의 스케일 함수를 연결하기 위해.
• 스케일 함수를 재생 방정식 $ f = 1 + f * g $ 로 변환하며, 여기서 $ f = W^{(q)} $ 이고 $ g $ 는 Lévy 측도의 尾部에 의존한다.
• Kyprianou와 Zhou(2009)의 정리 7을 적용하여, $ g' $ 과 $ g'' $ 에 대한 감쇠 조건을 검증함으로써 $ C^k $ 스무스함을 확립한다. 특히 $ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ 과 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $ 이며, $ \alpha < 1 $ 이다.
• Blumenthal-Getoor 지수 $ \vartheta \in (1,2) $ 를 분석하여 $ \overline{\Pi}(x) $ 와 $ \overline{\overline{\Pi}}(x) $ 를 유계화하고, 스무스함을 위한 적분 가능성 조건을 이끌어내기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lévy 측도 $ \Pi $ 와 가우시안 계수 $ \sigma^2 $ 가 어떤 조건을 만족할 경우 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 가 $ (0,\infty) $ 에서 두 번 연속 미분 가능해지는가?
• RQ2 Lévy 측도의 Blumenthal-Getoor 지수 $ \vartheta $ 는 $ W^{(q)} $ 의 스무스함에 어떤 영향을 미치며, 특히 $ k \geq 2 $ 의 경우에 대해 어떻게 작용하는가?
• RQ3 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 의 스무스함과 서브오르디네이터와 관련된 재생 함수의 스무스함 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 $ C^k $ 정규성은 재생 방정식 프레임워크를 통해 확립될 수 있는가? 그리고 커널 $ g $ 에 대해 어떤 감쇠 조건이 필요하는가?
• RQ5 $ \psi'(0+) \geq 0 $ 이라는 가정은 분석을 어떻게 단순화시키며, $ W(x) $ 의 급수 표현을 가능하게 하는가?

주요 결과

• Lévy 측도 $ \Pi $ 가 $ \int_{-1}^0 |x|^\vartheta \Pi(dx) < \infty $ 를 만족하고, 어떤 $ \vartheta \in (1,2) $ 에 대해 성립할 경우, 스케일 함수 $ W^{(q)} $ 는 $ (0,\infty) $ 에서 $ C^2 $ 이다. 이는 재생 방정식에서 $ g' $ 과 $ g'' $ 가 필요한 감쇠 조건을 만족함을 보장한다.
• $ k \geq 3 $ 에 대해 $ W^{(q)} \in C^k(0,\infty) $ 는 Lévy 측도가 밀도 $ \pi(x) $ 를 가지며, $ \pi(x) \leq C x^{-\vartheta} $ 를 만족할 경우 성립한다. 여기서 $ \vartheta \in (1,2) $ 이며, 이는 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\vartheta} $ 와 $ \vartheta < 2 $ 를 유도하여, 정리 7의 조건을 만족함을 의미한다.
• 두 번째 도함수 $ W''(x) $ 는 $ (0,\infty) $ 전역에서 존재하며 연속적이다. 이는 $ n(\overline{\epsilon} \geq x, \epsilon_{\sigma_x} = x) $ 가 연속일 경우에 성립하며, 이는 $ W'(x)/W(x) $ 와 $ \overline{\Pi}(y) $ 를 포함하는 적분 항의 오른쪽 표현에서 유도된다.
• $ \psi'(0+) \geq 0 $ 이면 스케일 함수는 급수 표현 $ W(x) = \frac{1}{c} \sum_{n \geq 0} g^{*n}(x) $ 를 가진다. 여기서 $ g(x) = \frac{1}{c} \int_0^x \overline{\Pi}(y) dy $ 이며, 이는 고차 스무스함을 분석하기 위한 재생 방정식 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 서브오르디네이터와 관련된 재생 함수의 스무스함은 $ W^{(q)} $ 의 스무스함에 직접적으로 이르게 하며, 이는 이 분야에서 이전에 제한된 문헌 자료가 있었던 영역에서 새로운 결과를 제공한다.
• $ C^k $ 스무스함의 증명은 $ |g'(x)| \leq C(a)x^{-\alpha} $ 와 $ |g''(x)| \leq C(a)x^{-\alpha-1} $ 를 유도함으로써 이루어지며, 이는 Lévy 측도의 尾부 $ \overline{\Pi}(x) $ 가 $ x^{-\vartheta} $ 와 같이 감쇠할 경우, $ \vartheta \in (1,2) $ 일 때 성립한다.