[논문 리뷰] $SO(3)$-Floer homology of 3-manifolds with boundary 1

Kenji Fukaya|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 03.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 다중체의 경계를 가진 경우에 대해 $SO(3)$-Floer homology 프레임워크를 수립한다. 이를 위해 게이지 이론적 Floer homology와 $A_{\infty}$-함수적 구조를 통한 라그랑주 Floer homology를 연결한다. 이는 비자명한 $SO(3)$-_bundle를 가진 3차원 다중체의 상대 Floer homology가 그 경계 모듈리 공간의 라그랑주 Floer homology와 동형임을 증명하며, 비자명한 두 번째 스티펠-블랑슈 타입 $w_2$를 가진 $SO(3)$-bundle에 대해 아티야-플로어 추측의 한 형태를 실현한다.

ABSTRACT

In this paper the author discuss the relation between Lagrangian Floer homology and Gauge-theory (Donaldson theory) Floer homology. It can be regarded as a version of Atiyah-Floer type conjecture in the case of $SO(3)$-bundle with non-trivial second Stiefel-Whitney class. This is a first of a series of papers, where we describe the main results and geometric and algebraic parts of the proof. The half of analytic detail was in [Fu5] which was published in 1998. The other half will appear in subsequent papers.

연구 동기 및 목표

• 경계를 가진 3차원 다중체에 대해 게이지 이론적 $SO(3)$-Floer homology와 라그랑주 Floer homology 사이의 대응을 수립하기.
• 비자명한 $w_2$를 가진 $SO(3)$-케이스에서 아티야-플로어 추측을 해결하기 위해, 임베딩되지 않은 라그랑주 모듈리 공간에 대한 표준적 경계 1-형식을 구성함으로써.
• 후카야와 아카호-조이스의 $A_\infty$-함수적 프레임워크를 평면 연결이 아닌, 평면 연결에서 유래한 특이 심플렉틱 공간 내의 비차단 임베딩된 라그랑주를 포함하도록 일반화하기.
• 스트립 수축이나 도넛 모양 버블 분석과 같은 어려운 해석 기법을 피하기 위해, 코버디즘 기반 방법을 사용하여 붙임 동형의 증명을 단순화하기.

제안 방법

• 경계가 있는 3차원 다중체에서 라그랑주 모듈리 공간의 체인 복합체의 범주 $\mathscr{CH}$로 향하는 필터링된 $A_\infty$-함수적 $\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}: \mathscr{FUK}(R(\Sigma)) \to \mathscr{CH}$를 구성하기.
• 무한차원 모듈리 공간을 다루기 위해 노비코프 링 $\Lambda^{{\mathbb{Z}}_2}_0$를 사용하여 계수를 가진 Floer homology를 정의하기.
• 임베딩된 라그랑주 $R(M) \subset R(\Sigma)$에 대해 표준적 경계 1-형식 $b_M$을 정의하여, FOOO 및 아카호-조이스의 의미에서 비차단성을 확보하기.
• 두 3차원 다중체가 공통 경계를 통해 붙을 때, 상대 Floer homology 사이에 체인 맵이 유도되며, 이는 해당 경계 라그랑주의 라그랑주 Floer homology와 동형임을 증명하기.
• 특이점 분석(예: 도넛 모양 버블, 아디아바틱 극한)이 필요 없도록 코버디즘 방법을 적용하기.
• Fu5에서의 단조성 및 컴actness 정리들을 활용하여, 준해석 곡선를 제어하고 Floer 미분의 잘 정의성을 보장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비자명한 $w_2$-류를 가진 $SO(3)$-케이스에서, 라그랑주 Floer 이론적 구성에 의해 아티야-플로어 추측을 확장할 수 있는가?
• RQ2 경계를 가진 3차원 다중체에서 평면 연결의 모듈리 공간에 대해, 임베딩된 라그랑주 $R(M)$이 비차단적인가?
• RQ3 두 3차원 다중체가 공통 경계를 통해 붙을 때, 게이지 이론적 및 라그랑주 Floer homology 사이에 표준적 동형이 유도되는가?
• RQ4 스트립 수축 및 도넛 모양 버블의 어려운 해석 문제를 일반화 없이 코버디즘 추론으로 대체할 수 있는가?
• RQ5 모듈리 공간 $R(M)$에 대한 표준적 경계 1-형식 $b_M$은 선택에 의존하지 않으며 게이지 동치에 대해 불변인가?

주요 결과

• 라그랑주 $R(M)$은 $R(\Sigma)$ 내에서 비차단적이며, 표준적 경계 1-형식 $b_M$을 갖는다. 이는 게이지 불변이며, 오직 쌍 $(M, \mathcal{E}_M)$에만 의존한다.
• 붙인 3차원 다중체 $M = M_1 \cup_{-M_2} \Sigma$에 대해, $HF(M,\mathcal{E};\Lambda_0^{{\mathbb{Z}}_2}) \cong HF((R(M_1),b_{M_1}),(R(M_2),b_{M_2}))$라는 표준적 동형이 존재하며, 이는 $SO(3)$-아티야-플로어 추측의 한 형태를 실현한다.
• 모듈리 공간 $R(M)$이 $R(\Sigma)$에 임베딩될 경우, 표준적 경계 1-형식은 0이 된다: $b_M = 0$, 이는 고전적 라그랑주 Floer homology 설정을 복원한다.
• $A_\infty$-함수적 $\mathcal{HF}_{(M,\mathcal{E}_M)}$는 잘 정의되어 있으며, 그 호모토피류는 $(M, \mathcal{E}_M)$의 불변량이다. 이는 게이지 이론과 심플렉틱 위상수학 사이의 함자적 연결을 제공한다.
• 해석적 난이도를 피하기 위해 도넛 모양 버블이나 아디아바틱 극한의 직접 분석을 피하고, 단조성에 의해 대체되는 대체로 대체된 대체 제어를 사용한다.
• 이 구성은 닫힌 3차원 다중체에서 표준적 $SO(3)$-Floer homology와 호환되며, $M_1 = M_2 = \Sigma \times [0,1]$인 경우 도스토글루-살라모프의 결과를 복원한다.