[논문 리뷰] Sofic groups and profinite topology on free groups

Lev Glebsky, Luis Manuel Rivera Martinez|ArXiv.org|2007. 09. 01.

Geometric and Algebraic Topology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대칭군 위의 하밍 거리 대신 유한군 위의 양측 불변 거리에 기반하여 정의되는 소피 군의 일반화인 약한 소피 군(w-sofic groups)을 도입한다. 주요 기여는 비소피 군의 존재성이 자유군에서 코너스클래스의 곱의 폐쇄가 그들이 생성하는 정규부분군에 포함되지 않는다는 프로파인 토폴로지 성질과 동치임을 증명한 것이다. 이는 군론, 프로파인 토폴로지, 그리고 소피성에 대한 광범위한 추측을 연결한다.

ABSTRACT

We give a definition of weakly sofic groups (w-sofic groups). Our definition is rather natural extension of the definition of sofic groups where instead of Hamming metric on symmetric groups we use general bi-invariant metrics on finite groups. The existence of non w-sofic groups is equivalent to some conjecture about profinite topology on free groups.

연구 동기 및 목표

• 유한군 위의 임의의 양측 불변 거리에 기반하여 대칭군 위의 하밍 거리 대신 사용하는 소피 군의 일반화인 약한 소피 군(w-sofic groups)을 정의하고 연구하는 것.
• 약한 소피 군과 유한 생성 자유군 위의 프로파인 토폴로지 사이의 관계를 조사하는 것.
• 자유군에서 코너스클래스의 곱이 프로파인 토폴로지에서 닫혀 있는지 탐구하는 것. 이는 비-약한 소피 군의 존재성을 결정하기 때문이다.
• 자유군에서 이러한 곱의 프로파인 토폴로지에서의 닫힘 성질이 비-약한 소피 군의 존재성과 동치임을 증명하는 것.
• 코너스클래스 곱과 프로파인 폐쇄를 통해 자유군에서 정규부분군의 유한 분리 가능성(finite separability)을 특성화하는 것.

제안 방법

• 유한군에 양측 불변 거리가 부여된 $(\Phi,\epsilon,\alpha)$-준동형사상을 통해 약한 소피 군을 정의하여 소피 군 정의를 일반화하는 것.
• 유한 생성 자유군 $F$ 위의 프로파인 토폴로지에서, 유한군으로의 준동형사상에 의해 분리될 수 있는 집합이 닫혀 있음을 정의하는 것.
• 정규부분군 $N \triangleleft F$가 유한 분리 가능하다고 할 때, 모든 $g_i \in N$에 대해 $[g_1]^F \cdots [g_k]^F$의 곱의 폐쇄가 $N$에 포함되어 있음을 증명하는 것.
• 초유한 군과 내부 양측 불변 거리, 그리고 그의 무한소 이웃을 고려하여 비표준 해석 기법을 사용하여 약한 소피성의 특성화를 수행하는 것.
• 모든 $\phi: F \to H$에 대해 $\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$ 이고 $\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$ 를 만족하는 준동형사상 $\phi$ 가 존재할 때, $F/N$ 이 w-sofic임을 증명하는 것. 여기서 $\mathcal{E}$ 는 초유한 군 $H$ 에서 항등원에 대한 무한소 이웃이다.
• 유한군으로의 준동형사상에 의한 프로파인 폐쇄 특성화를 적용: $x \in \overline{X}$ 이다 ⇔ 모든 $\phi$ 에 대해 $\phi(x) \in \phi(X)$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-약한 소피 군이 존재하는가? 만약 존재한다면, 이는 자유군에서의 프로파인 토폴로지에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 자유군에서 코너스클래스의 곱은 프로파인 토폴로지에서 닫혀 있는가?
• RQ3 자유군에서 코너스클래스의 곱의 폐쇄는 그들이 생성하는 정규부분군에 포함되어 있는가?
• RQ4 자유군에서 정규부분군의 유한 분리 가능성은 코너스클래스 곱과 프로파인 폐쇄를 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 비-약한 소피 군의 존재는 프로파인 토폴로지에서 코너스클래스 곱이 닫히지 않는다는 실패를 암시하는가?

주요 결과

• 비-약한 소피 군의 존재성은, $F$ 가 유한 생성 자유군이고 $g_1, \dots, g_k \in F$ 이며 $\overline{[g_1]^F \cdots [g_k]^F} \not\subseteq N(g_1, \dots, g_k)$ 를 만족하는 $F$ 와 $g_i$ 가 존재하는 것과 동치이다. 여기서 $N(g_1, \dots, g_k)$ 는 $g_i$ 들이 생성하는 정규부분군이다.
• 정규부분군 $N \triangleleft F$ 가 유한 분리 가능하다는 것은, 모든 $g_1, \dots, g_k \in N$ 에 대해 프로파인 토폴로지에서 $[g_1]^F \cdots [g_k]^F$ 의 폐쇄가 $N$ 에 포함되어 있음을 의미한다.
• 논문은 프로-$p$ 토폴로지에서 2개 생성 자유군에 속하는 원소 $g_1, g_2$ 가 존재하여 $[g_1]^F [g_2]^F$ 가 닫혀 있지 않으며, 그 폐쇄가 $N(g_1, g_2)$ 에 속하지 않는 원소를 포함함을 보여, 이와 유사한 실패가 프로파인 토폴로지에서도 발생할 수 있음을 시사한다.
• 논문은 $F/N$ 이 w-sofic임과 동시에, 유한군 $H$ 로의 준동형사상 $\phi: F \to H$ 가 존재하여 $\phi(N) \subseteq \mathcal{E}$ 이고 $\phi(F \setminus N) \cap \mathcal{E} = \emptyset$ 를 만족하는 것이 동치임을 증명한다. 여기서 $\mathcal{E}$ 는 초유한 군 $H$ 에서 항등원에 대한 무한소 이웃이다.
• 유한군으로의 준동형사상에 의한 프로파인 폐쇄 특성화를 사용하여, $x \in \overline{X}$ 이다 ⇔ 모든 준동형사상 $\phi$ 에 대해 $\phi(x) \in \phi(X)$ 임을 보여, 이를 증명한다.
• 논문은 표준적인 소피성 정의(즉, $S_n$ 에서의 하밍 거리 사용)가 약한 소피성의 특수한 경우임을 증명하고, 따라서 약한 소피 군은 소피 군보다 엄밀히 더 큰 클래스임을 밝힌다.