[논문 리뷰] Sofic representations of amenable groups

Gábor Elek, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 sofic 군의 자유곱이 임의의 amenable 부분군을 통해 합성되었을 때 sofic임을 증명하며, 이는 이전에 monotileable amenable 부분군으로 제한되었던 조건을 제거한 것이다. 또한, 유한 생성 군이 amenable임과 동시에 그 군의 모든 충실한 sofic 표현이 초구상(ultraproduct)의 대칭군으로의 표현들 사이에서 동치임과 동치임을 보이며, soficity를 통해 amenable성을 군론적으로 특징짓는 결과를 제시한다.

ABSTRACT

Using probabilistic methods, Collins and Dykema proved that the free product of two sofic groups amalgamated over a monotileably amenable subgroup is sofic as well. We show that the restriction is unnecessary; the free product of two sofic groups amalgamated over an arbitrary amenable subgroup is sofic. We also prove a group theoretical analogue of a result of Kenley Jung. A finitely generated group is amenable if and only if it has only one sofic representation up to conjugacy equivalence.

연구 동기 및 목표

• Sofic 군의 자유곱이 amenable 부분군을 통해 합성되었을 때 sofic임을 보여주는 결과에서 monotileable amenable 부분군으로의 제한 조건을 제거하는 것.
• conjugacy 클래스에 의한 sofic 표현의 동치성에 기반한 amenable의 군론적 특징을 설정하는 것.
• von Neumann 대수의 임베딩과 sofic 군 표현 사이의 유사성을 확장하기 위해, amenable 군에 대해 동치성의 유일성 결과를 증명하는 것.

제안 방법

• 확률적 방법과 sofic 근사 기법을 사용하여, 주어진 반경까지 국소적인 구조를 유지하는 카일리 그래프의 유한 그래프 근사를 구성한다.
• 색칠된 그래프 사이의 r-동형을 정의하여, 큰 간선 부분집합에서의 국소적 동형을 정의함으로써 그래프 수열 간의 비교를 가능하게 한다.
• 증명은 초구상 초구성과 순열의 랭크 함수를 이용하여 대칭군의 초구상으로의 충실한 임베딩을 정의하는 데 의존한다.
• amenable 군의 sofic 근사가 초유한(hyperfinite)임을 이용하여, 비amenable 군이 동치인 sofic 표현을 가질 수 없다는 가정에서 모순을 이끌어낸다.
• 큰 부분그래프에서의 동형을 이용하여 그래프 수열 간의 명시적 공변 변환 이항을 구성함으로써 초구상 내에서의 공변성을 확보한다.
• 비amenable 군은 양의 등방성 상수를 가지며, 이는 그들의 sofic 근사에서 초유한성이 불가능함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sofic 군의 자유곱이 monotileable amenable 부분군을 통해 합성되었을 때 sofic임이 보장되는데, 이 제한 조건이 필수적인가?
• RQ2 모든 충실한 sofic 표현이 동치임이 finitely generated 군의 amenable 성질을 특징지울 수 있는가?
• RQ3 sofic 근사의 초유한성과 기저 군의 amenable 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 비amenable 군의 모든 충실한 sofic 표현은 서로 동치가 아닐까?
• RQ5 군 Σ의 초구상 구성 방식은 sofic 표현의 분류와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 임의의 amenable 부분군을 통해 합성된 두 sofic 군의 자유곱은 sofic이며, monotileability 제한 조건이 불필요함을 확인한다.
• 유한 생성 군이 amenable임과 동시에 그 군의 모든 충실한 sofic 표현이 대칭군의 초구상으로의 표현들 사이에서 동치임은 동치이다.
• 비amenable 군의 sofic 근사는 초유한이 아니며, 간선의 양의 비율을 제거한 후에도 크기가 증가하는 성분을 포함한다.
• amenable 군의 경우, r-동형의 관점에서 sofic 근사는 균일하게 가까워질 수 있으며, 이는 초구상 내에서 공변 원소를 구성하는 데 유리하다.
• 비amenable 군의 sofic 근사에서 초유한성이 실패함에 따라, 비동치인 충실한 임베딩의 존재가 유도된다.
• 증명은 sofic 근사의 기하적 성질인 초유한성과 대수적 성질인 amenable 사이의 강력한 연관성을 확립한다.